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课题：15.1多面体与旋转体上海新王牌教育柱、锥、球的结构特征棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。底面顶点侧面侧棱用表示底面各顶点表示棱柱。棱锥的结构特征棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。侧面底面侧棱顶点SDBAC棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母表示。【知识点梳理】：一、棱柱的概念与性质：1、棱柱的概念：有两个面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。2、棱柱的性质：（1）侧棱都相等，侧面是；（2）两底面和平行于底面的截面是的多边形；（3）对角面是。3、棱柱的分类：（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是的直棱柱。4、直棱柱的性质：（1）侧棱都相等，侧面是；（2）底面与平行于底面的截面是的多边形；（3）对角面是；（4）侧棱长是棱柱的高。5、正棱柱的性质：（1）底面与平行于底面的截面是的正多边形；（2）侧面是全等的。互相平行平行四边形全等平行四边形垂直正多边形矩形全等矩形全等矩形6、几种特殊的四棱柱：（1）平行六面体：底面是的四棱柱；（2）直平行六面体：侧棱与底面的平行六面体；（3）长方体：底面是的直平行六面体；（4）正四棱柱：底面是的长方体；（5）正方体：棱长都的正四棱柱。7、长方体对角线性质：若长方体的长、宽、高分别为cba、、，则长方体的对角线长d满足：。平行四边形垂直矩形正方形相等2222cbad二、棱锥的概念与性质：1、棱锥的概念：有一个面是，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥。其中棱锥的的面叫做棱锥的底面，其余的面叫做棱锥的侧面。不在底面上的棱叫做棱锥的，侧面的公共顶点叫做棱锥的，顶点与底面间的距离叫做棱锥的高。2、正棱锥：若棱锥的底面是正多边形，且，那么这个棱锥叫做正棱锥。3、几个特殊的三棱锥：（1）正三棱锥：底面是等边三角形，顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：棱长都相等（侧棱长与底面边长相等）的正三棱锥。多边形多边形侧棱顶点顶点在底面的射影是底面的中心三、圆柱的概念与性质：1、圆柱的概念：将矩形ABCD（及其内部）绕旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱。其中AB所在直线叫做圆柱的轴，圆柱用表示它的轴的字母表示，如圆柱AB。线段CD旋转而成的曲面叫做圆柱的；线段AD和BC旋转而成的圆面叫做圆柱的；CD叫圆柱侧面的一条；圆柱的两个底面间的距离叫圆柱的高。2、圆柱的性质：（1）底面是平行且的圆；（2）平行于底面的截面是与底面的圆；（3）圆柱有无穷多条母线，且所有母线与轴；（4）轴截面是。其一边AB所在直线侧面底面母线半径相等半径相等平行且相等矩形四、圆锥的概念与性质：1、圆锥的概念：以直角三角形ABC（及其内部）绕其旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥。其中AB所在直线叫做圆锥的轴，圆锥用表示它的轴的字母表示，如圆锥AB。直角边BC旋转而成的圆面叫圆锥的；斜边AC旋转而成的曲面叫圆锥的；斜边AC叫圆锥侧面的一条；点A叫圆锥的顶点；圆锥的顶点到底面间的距离叫圆锥的高。2、圆锥的性质：（1）平行于底面的截面是与底的圆；（2）圆锥有无穷多条母线，所有母线相交于顶点，每条母线与轴的相等；（3）轴截面是。一条直角边AB所在直线底面侧面母线半径不相等夹角等腰三角形五、球的概念与性质：1、球的概念：将圆心为O的半圆（及其内部）绕其旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作求O。其中半圆的圆弧所形成的曲面叫，点O称为球心；把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径。2、球的截面性质：（1）球心到球面上任意一点的距离都相等；（2）球面被不经过球心的平面截得的圆是小圆，被经过球心的平面截得的圆是大圆；（3）球心和截面圆心的连线于截面；（4）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：。直径AB所在直线球面垂直22rRd3、两点间的球面距离：把经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度叫做两点间的球面距离，若球的半径为R，球心为O，则球面两点BA、间的球面距离=。)(弧度数AOBR【例题精讲】：例1.（1）有下列四个命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体；②底面是正方形的直棱柱是正四棱柱；③底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④过球面上任意两个不同点的大圆有且只有一个；⑤所有棱长都相等的直四棱柱是正方体。其中正确命题的序号是。（2）若两个对角面都是矩形的平行六面体，则它：①一定是直平行六面体；②有可能是正四棱柱；③不可能是正方体；④有可能是斜平行六面体。其中正确的是（）A、①②；B、①②④；C、②④；D、②③④（3）已知长方体的表面积是224cm，过同一顶点的三条棱长之和是6cm，则它的对角线长是（）A.14cmB.4cmC.32cmD.23cm②AD（4）一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分之比为（）A.4∶9；B.2∶1；C.2∶3；D.2∶3（5）圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是。B60例2．（1）正四棱锥SABCD-的侧棱长为2，底面边长为3，E为SA中点，则异面直线BE与SC所成的角是（）A、30°B、45°C、60°D、90°（2）如左下图：已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，过顶点1A作底面ABC的垂线，若垂足为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为.（3）如右下图，已知圆柱的轴截面11ABBA是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，1C是圆柱上底面弧11AB的中点，那么异面直线1AC与BC所成角的正切值为．AA1BCC1B1C4321C1A1BABC例3．在正四棱柱1111DCBAABCD中，已知底面ABCD的边长为2，点P是1CC的中点，直线AP与平面11BBCC成030角。（1）求1CC的长；ABCD1A1B1C1DP（2）求异面直线1BC和AP所成角的大小。解：连接BP，设正四棱柱的高为h，因为11BBCCAB平面，所以BP是AP在平面11BBCC上的射影，APB为直线AP与平面11BBCC成角，即030APB。在ABPRt中，0260tan244hPB241hCC分别连接11,PDAD，解：因为11//BCAD，所以)(1或其补角APD是异面直线1BC和AP所成的角。在APD1中，32,4,611PDPAAD65642123616cos1APD所以异面直线1BC和AP所成角的大小为65arccos。例4．在圆锥PO中，已知2PO，圆O的直径2AB，点C在弧AB上，且030CAB，D为AC的中点。（1）证明：PODAC平面；OPABDC（2）求直线PA和平面POD所成角。证明：OCOA，D是AC中点，ODACOPO底面圆，OAC底面圆，POAC且ODPO、是平面POD内的两条相交直线，PODAC平面解：连PDOD、，由（1）知PODAC平面，故PD是PA在平面POD上的射影，所以APD就是直线PA和平面POD所成角。在PDARt中，23,3ADPA21sinPDA6PDA所以直线PA和平面POD所成角的大小为6。例5.（1）已知点A、B同位于以点O为球心、1为半径的一个球面上，且O到过点A、B的截面的距离的最大值是22，求点A、B间的球面距离；解：设O到过点A、B的截面的距离为d，截面半径为r，则有d＝1－r2，当r最小，即截面以AB为直径时，d取得最大值．依题意得221122AB，2AB2AOB故点A、B间的球面距离等于π2×1＝π2.OABd（2）若取地球的半径为6371千米，球面上两点A位于东经O12127'，北纬O318'，B位于东经O12127'，北纬O255'，求AB、两点的球面距离(结果精确到1千米)．OABCD解：如图所示，721210COD，8310AOD，5250BOD。360AOB18018109所以，A、B两点的球面距离=637118018109千米673