第二章-无限期界与世代交叠模型

1第二章无限期界与世代交叠模型A、拉姆齐（赛）－卡斯－库普曼模型1、假设：厂商——大量相同厂商，生产函数是(,)YFKAL，是规模报酬不变，要素与产出市场是竞争性的，A是给定的，以速率g外生增长，且企业由家庭所有，企业产生的任何利润归于家庭。家庭——大量相同家庭，家庭中人口的规模以n速率外生增长，将其拥有的资本租给厂商，初始资本为(0)/KH，其中，(0)K是经济中的资本的初始量，H是家庭数量。不存在折旧，每个时点上，家庭将其收入（劳动收入、资本所获得收入和从厂商处接受的利润）在消费与储蓄中分配，以最大化其终身效用。家庭的效用函数是：0()(())ttLtUeuCtdtH，其中()Ct是家庭每个成员的消费。()u是瞬时效用函数－既定时刻家庭每个成员的效用，其形式是1()(())1CtuCt（它是著名的相对风险厌恶不变的CRRA效用函数，该函数的相对风险厌恶系数（阿罗－帕拉特风险厌恶测度值）为'''()/()uCuC即独立于C，并能使经济收敛于平衡的增长路径。其二个特征：（1）如果1，1C关于C是递减的；如果1，则消费是递增的。给1C除以1，是确保无论取什么值，消费的边际效用是正的。（2）在1，瞬时效用函数可简化为lnC），0，1/是消费跨期替代弹性。()Lt是经济的总人口，()LtH是每个家庭的成员人数。()(())LtuCtH是t时刻家庭的总瞬时效用。是贴现率，其越大，表明相对于现期消费，家庭对未来消费的估价越小（更偏好于现期消费，少储蓄）。且(1)0ng（可确保终生效用不会发散，如果这个条件不成立，家庭可获得无限的终生效用，且难以得到其最大化问题的解）。2、家庭与厂商的行为：（1）厂商：边际产品'(,)/()FKALKfk，市场是竞争的，资本获得其边际产品，以不存在折旧，资本的真实报酬率等于每单位时间的收入（利率），那么，真实利率为：'()(())rtfkt，劳动的边际产品是(,)/FKALL，它等于(,)/AFKALAL。根据()f，它可写成'[()()]Afkkfk，因此，在t时刻，真实工资为：'()()[(())()(())]WtAtfktktfkt，2每单位有效劳动的工资是：'()(())()(())]wtfktktfkt。（2）家庭的预算约束：代表性家庭把r与w的路径取做给定的。家庭的预算约束是其终生消费的贴现值不能超过其初始的财富与其终生劳动收入的现值之和。考虑到r可随时间而变化，将()Rt－累加利息因子定义为＝0()trd。表示在0时刻投资一单位的产出品将在t时刻获得数量为()Rte的物品。亦即，在t时刻的一单位产出的价值用0时刻的产出表示为()Rte（表明在[0,t]时刻连续复利的效应）。家庭预算为：()()00()(0)()()()RtRtttLtKLteCtdteWtdtHHH()0(0)()[()()]0RttKLteWtCtdtHH用家庭的资本持有量的极限行为来表示，即从0t到t的积分形式作为一种极限：()0()()()0(0)()[[()()]]0()(0)()[()()]limsRttssRsRsRttKLteWtCtdtHHKsKLteeWtCtdtHHH（指s时刻，家庭资本持有量）根据上式，可将预算约束简单写成：()()0limRssKseH，表示家庭所持资产的现值不能是负的。著名的非蓬齐博弈条件。（3）家庭的最大化问题（每工人消费/(/)CLACALAc）家庭瞬时效用简化为：11111(1)()[()()][(0)]()111()(0)1gtgtCtAtctAectctAe由于()(0)ntLtLe代入目标函数，得：31(1)01(1)01((1))010()(0)[(0)]1(0)()(0)1()1()1nttgtttgtnttngttttctLeeAedtHLctAeeedtHctBedtctBedt家庭预算简化：家庭总消费()()()(0)(0)()()/()()()/)()()ngtAtLtALCtLtHAtctLtHctcteHH家庭的总劳动收入：()()()(0)(0)()()/()()()/)()()ngtAtLtALWtLtHAtwtLtHwtwteHH因(0)(0)(0)(0)/KkALHH()()()()00()(0)()RtngtRtngtttectedtkewtedt（(0)KH是家庭持有的，不是家庭成员持有的）非蓬齐条件表达式：由于()(0)(0)()/()()()/()ngsALKsHksAsLsHkseH()()lim()0Rsngsseeks构建拉格朗日函数：1()()()()000()[(0)()()]1tRtngtRtngttttctLBedtkeewtdteectdt求关于()ct的导数，即一阶条件：()()()tRtngtBectee对上式取对数，得：0lnln()ln()()ln()()tBtctRtngtrdngt两边求关于t的导数，得：()()()()ctrtngct()()()()()ctrtngrtgrtgct即表明每个工人的消费是以()rt的速率增长。如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费的速率，每个工人消费将上升。越小，随着消费的变化，其边际效用的变化越4小，从而，为对实际利率与贴现率之间的差异作出反应，消费变动就越大。欧拉方程的求解：假设家庭在t时，将c减少较小的量c，在一个较短的时刻t，把这个新增的储蓄进行投资，并在tt时刻消费这部分收入。这种变化对终生效用的边际影响则是零。()ct的边际效用是()tBect，则这种变化的效用成本为：()tBectc；由于瞬时的报酬率为()rt，在tt时刻，c可被增加的数量为[()]rtngtec（有效劳动增加）。同样，由于c的增长率是()()ctct，那么，[()/()]()()ctcttcttcte，因此，在tt的边际效用为：()()[()/()]()[()]ttttctcttBecttcBectec理性家庭，其期望效用保持不变：()()[()/()]()[()]tttctcttBectcBectec给两边同除以()tBectc，得：()[()]()ctttrtngtct3、经济的动态学：（1）c的动态学：由于'()(())rtfkt，即'()(())()ctfktgct，当'(())fktg，那么，0c，设*k代表在0c时的k的水平，当*kk，'(())fktg（资本边际报酬递减），0c；当*kk，'(())fktg，0c。如图：（2）k的动态学：0c0c*kkc0c5与索洛模型一样，k等于实际投资减去持平投资。由于不存在折旧，持平投资为()ngk，实际投资是产出减去消费为()fkc，即：(())()()()kfktctngkt，那么消费等于实际产出与持平投资线的差额时，0k，()(())()()ctfktngkt，开始c关于k是递增的，直到'()fkng（k的黄金律水平），后c关于k是递减的。当c超过可获得0k的水平时，k则下降，当c小于可获得0k的水平时，k则上升，对于充分大的k，持平投资超过产出，在此条件下，对于一切c的正值，0k。如图：k的动态学（3）c与k相图：c与k的动态学(0)k(0)k(0)k，()()cfkngk(0)k，()()cfkngkck0c0k，*kckE6（4）c的初始值：（解释在0k下方，k大于0,可用(())()()()kfktctngkt来解释，因为下方的c小，而使产出大于持平投资，或者可从0k，()()cfkngk，及()()0fkcngkk()()cfkngk）c与k关于c的各种初始值的行为()()lim(Rsngsseeks）中'()()(()())Rtngtfkngeee（F是收敛的，因为'*()fkg，其他点上'()()fkng，发散的，即较之于家庭的终生消费的贴现值，其终生收入的贴现值是无穷大的，因此，家庭可获得更高的效用，这样的路径不是均衡的。）（5）鞍点路径：鞍点路径是指对于k的任何正的初始水平，存在一个惟一的c的初始水平，它与家庭的最优化、资本存量的动态学、家庭预算约束以及k不为负的要求相一致，那么，这种初始的c作为k的一个函数的函数便是鞍点路径。CFD*k(0)kA0kB0c7鞍点路径4、福利（略）5、平衡增长路径（1）平衡增长路径的性质：经济行为一旦收敛于E点，它便等同于处在平衡路径上的索洛经济的行为，每单位有效劳动的资本、产出与消费是不变的。由于y与k不变的，储蓄率()/ycy也是不变的，总资本存量与总消费均以()ng的速率增长，且每工人资本、每工人产出与消费发速率g增长。（储蓄率的内生与外生假定都一样，劳动的有效性的增长仍是每工人产出持续增长的惟一可能的源泉。（2）平衡增长路径与资本的黄金律水平索洛模型与拉姆齐模型的平衡增长路径之间的惟一区别是：拥有资本存量大于黄金律资本水平的平衡路径在拉姆齐模型是不可能的，即在索洛模型中，充分高的储蓄率引致经济达到一个平衡路径，它的性质是存在一些可行的选择，涉及在每个时刻更高的水平的消费。相反，在拉姆齐模型中，储蓄由家庭行为中推出，该家庭的效用依存于其消费，并且不存在外部性，结果，使经济在每个时点上获得较高消费水平的路径，不能是一个均衡，如果经济处在这样一个路径上，家庭将会减少他们的储蓄并利用这种机会。（从鞍点图分析：（a）当初始资本存量大于黄金律水平，初始消费会大于那个为保持k不变所需的消费水平，因此，0k，k逐渐趋向*k；（b）*k小于黄金律资本存量意味着经济并不会收敛于那种可获得c的最大维持水平的平衡路径，假设，0g，那么，*k是由'*()fk定义的，而黄金律的GRk由'()GRfkn定义，因而我们假定(1)0ng简化为n，由于*GRkk，在*kk处开始的储蓄增加将会引致每工人的消费最终高于其先前的水平，并且在那里保持不变，但因家庭对现期消费的偏好大于未来时期，使得消费的最终的永久性增加的好处受到限制。在某个点上，特别地，当*kk，暂时的短期牺牲与永久的长期收益之间的替代是十分不利的，以致接受该替代会减少而非提高终生的效用，因此，k收0c0k*kckE8敛于低于黄金律水平的资本量，由于*k是经济收敛于平衡路径时的k的最优水平，它便是著名的修正的黄金律资本存量）。6、贴现率下降的效应考虑一个处在其平衡路径上的拉姆齐经济，并且设存在贴现率下降。由于是主导家庭对现期与未来消费之间偏好的参数，在这个模型中，这个变化与索洛模型中的储蓄率的上升，十分相似。（1）定性效应：由于k的演化由技术而非偏好决定，进入c而不是进入k的方程。因此，只有0c的轨迹受到影响。由于'()(())()ctfktgct，当0c，k值由'*()fkg决定，且由于''()0f，这意味着的下降会提高*k。那么，0c线向右边移动。在的变动的时刻，k的值，即每单位有效劳动的资本存量