12016年永州市第四中学高中部自主招生考试试题数学(试题卷)注意事项:1.本场考试时间为150分钟,总分为120分。2.考生在答题前请检查试卷是否有缺页漏页,重影模糊等妨碍答题现象,若有请立即向监考老师通报。答案请填写在答题卡上,写在试题卷上无效。3.本张试卷为2016年永州四中文科实验班、理科特奥班自主招生考试试卷。一.选择题(共6小题,每小题6分,共36分)1.一列数a1,a2,a3,…,其中a1=,an=(n为不小于2的整数),则a100=()A.B.2C.﹣1D.﹣22.已知,则的值为()A.B.C.D.或13.已知AD∥BC,AB⊥AD,点E,点F分别在射线AD,射线BC上.若点E与点B关于AC对称,点E与点F关于BD对称,AC与BD相交于点G,则()A.1+tan∠ADB=B.2BC=5CFC.∠AEB+22°=∠DEFD.4cos∠AGB=4.如图,若将左图正方形剪成四块,恰能拼成右图的矩形,设a=1,则b=()A.B.C.D.5.如图所示,在直角坐标系中,A点坐标为(﹣3,﹣2),⊙A的半径为1,P为x轴上一动点,PQ切⊙A于点Q,则当PQ最小时,P点的坐标为()2A.(﹣4,0)B.(﹣2,0)C.(﹣4,0)或(﹣2,0)D.(﹣3,0)6.已知抛物线y=﹣x2+1的顶点为P,点A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结PA、PD,PD交AB于点E,△PAD与△PEA()A.始终不相似B.始终相似C.只有AB=AD时相似D.无法确定二.填空题(共4小题,每小题6分,共24分)7.如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点,则b的可能值是.8.如图,已知直线交x轴、y轴于点A、B,⊙P的圆心从原点出发以每秒1(s),半径为,则t=s时个单位的速度向x轴正方向移动,移动时间为t⊙P与直线AB相切.9.一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体称为集合.一个给定集合中的元素是互不相同的,也就是说,集合中的元素是不重复出现的.如一组数1,1,2,3,4就可以构成一个集合,记为A={1,2,3,4}.类比实数有加法运算,集合也可以“相加”.定义:集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和,记为A+B.若A={﹣2,0,1,5,7},B={﹣3,0,1,3,5},则A+B=.10.对于X,Y定义一种新运算“*”:X*Y=aX+bY,其中a,b为常数,等式右边是通常的加法和乘法的运算.若成立,那么2*3=.三.解答题(共5题,每题12分,共60分)11.如图,二次函数与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点P从A点出发,以1个单位每秒的速度向点B运动,点Q同时从C点出发,以相同的速度向y轴正方向运动,运动时间为t秒,点P到达B点时,点Q同时停止运动.设PQ交直线AC于点G.(1)求直线AC的解析式;(2)设△PQC的面积为S,求S关于t的函数解析式;(3)在y轴上找一点M,使△MAC和△MBC都是等腰三角形.直接写出所有满足条件的M点的坐标;(4)过点P作PE⊥AC,垂足为E,当P点运动时,线段EG的长度是否发生改变,请说明理由.3试题图备用图12.已知直线y=﹣x+4与x轴和y轴分别交与B、A两点,另一直线经过点B和点D(11,6).(1)求AB、BD的长度,并证明△ABD是直角三角形;(2)在x轴上找点C,使△ACD是以AD为底边的等腰三角形,求出C点坐标;(3)一动点P速度为1个单位/秒,沿A﹣B﹣D运动到D点停止,另有一动点Q从D点出发,以相同的速度沿D﹣B﹣A运动到A点停止,两点同时出发,PQ的长度为y(单位长),运动时间为t(秒),求y关于t的函数关系式.13.在边长为1的正方形ABCD中,以点A为圆心,AB为半径作圆,E是BC边上的一个动点(不运动至B,C),过点E作弧BD的切线EF,交CD于F,H是切点,过点E作EG⊥EF,交AB于点G,连接AE.(1)求证:△AGE是等腰三角形;4(2)设BE=x,△BGE与△CEF的面积比,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)在BC边上(点B、C除外)是否存在一点E,使得GE=EF,若存在,求出此时BE的长,若不存在,请说明理由.514.如图,AE切⊙O于点E,AT交⊙O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB⊥AT于点B,已知∠EAT=30°,AE=3,MN=2.(1)求∠COB的度数;(2)求⊙O的半径R;(3)点F在⊙O上(是劣弧),且EF=5,把△OBC经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧,这样的三角形共有多少个?你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗?请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OBC的周长之比.15.如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BC∥x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C三点.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P.①当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥直线l于点H,连结OP,试求△OPH的面积;②当m=﹣3时,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F.是否存在这样的点P,使以P,E,F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.62016年永州四中高中部自主招生考试数学参考答案选择题1-6.ABABDB填空题7.﹣6、﹣8.或249.{﹣3,﹣2,0,1,3,5,7}10.1解答题11.(1)y=﹣x2+2,x=0时,y=2,y=0时,x=±2,∴A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2),设直线AC的解析式是y=kx+b,代入得:,解得:k=1,b=2,即直线AC的解析式是y=x+2;(2)当0<t<2时,OP=(2﹣t),QC=t,∴△PQC的面积为:S=(2﹣t)t=﹣t2+t,当2<t≤4时,OP=(t﹣2),QC=t,∴△PQC的面积为:S=(t﹣2)t=t2﹣t,∴;(3)当AC=CM=BC时,M的坐标是:(0,),(0,﹣2);当AM=BM=CM时,M的坐标是:(0,0),(0,);一共四个点,(0,),(0,0),(0,),(0,﹣2);(4)当0<t<2时,过G作GH⊥y轴,垂足为H.由AP=t,可得AE=.∵GH∥OP7∴即=,解得GH=,所以GC=GH=.于是,GE=AC﹣AE﹣GC==.即GE的长度不变.当2<t≤4时,过G作GH⊥y轴,垂足为H.由AP=t,可得AE=.由即=,∴GH(2+t)=t(t﹣2)﹣(t﹣2)GH,∴GH(2+t)+(t﹣2)GH=t(t﹣2),∴2tGH=t(t﹣2),解得GH=,所以GC=GH=.于是,GE=AC﹣AE+GC=2﹣t+=,即GE的长度不变.综合得:当P点运动时,线段EG的长度不发生改变,为定值.12.(1)令x=0,y=4,令y=0,则﹣x+4=0,解得x=3,所以,A(0,4),B(3,0),由勾股定理得,AB==5,BD==10,过点D作DH⊥y轴于H,DH=11,AH=2,由勾股定理得,AD===,∵AB2=25,BD2=100,∴AB2+BD2=AD2,∴△ABD是直角三角形;(2)设OC长为x,由等腰三角形以及勾股定理得到x2+42=(11﹣x)2+62,解得x=,所以,C(,0);(3)设t秒时相遇,由题意得,t+t=5+10,8解得t=7.5,点P在AB上时,0≤t≤5,PB=5﹣t,BQ=10﹣t,PQ===,点P、Q都在BD上重合前,5<t≤7.5,PQ=5+10﹣t﹣t=15﹣2t,重合后,7.5<t≤10,PQ=t+t﹣5﹣10=2t﹣15,点Q在AB上时,10<t≤15,PB=t﹣5,BQ=t﹣10,PQ===.13.(1)连AH,∵AH⊥EF,GE⊥EF,∴GE∥AH,∴∠GEA=∠EAH,∵AH=AB,AE=AE,∠ABE=∠AHB,∴△AHE≌△ABE,∴∠BAE=∠EAH,∴∠BAE=∠GEA,∴AG=EG,即△AGE是等腰三角形.(2)∵EH=EB=x,∴EC=1﹣x,CF=1﹣FD,∵FD=FH,∴EF=EH+HF=x+FD,在Rt△ECF中,EF2=EC2+CF2,∴(1﹣x)2+(1﹣FD)2=(x+FD)2,整理得,(1+x)FD=1﹣x,∴,∵∠B=∠C,又GE⊥EF,∴∠GEB=∠FEC,∴△GEB∽△EFC,∴,∴,9∴(0<x<1).(3)假设BC上存在一点E,能使GE=EF,则,∴,解得x=0或x=1,经检验x=0或x=1是原方程的解但动点E不能与B,C点重合,故x≠0且x≠1,∴BC边上符合条件的E点不存在.14.(1)∵AE切⊙O于点E,∴AE⊥CE,又OB⊥AT,∴∠AEC=∠CBO=90°,又∠BCO=∠ACE,∴△AEC∽△OBC,又∠A=30°,∴∠COB=∠A=30°;(2)∵AE=3,∠A=30°,∴在Rt△AEC中,tanA=tan30°=,即EC=AEtan30°=3,∵OB⊥MN,∴B为MN的中点,又MN=2,∴MB=MN=,连接OM,在△MOB中,OM=R,MB=,∴OB==,在△COB中,∠BOC=30°,∵cos∠BOC=cos30°==,∴BO=OC,∴OC=OB=,又OC+EC=OM=R,∴R=+3,整理得:R2+18R﹣115=0,即(R+23)(R﹣5)=0,解得:R=﹣23(舍去)或R=5,则R=5;10(3)以EF为斜边,有两种情况,以EF为直角边,有四种情况,所以六种,画直径FG,连接EG,延长EO与圆交于点D,连接DF,如图所示:∵EF=5,直径ED=10,可得出∠FDE=30°,∴FD=5,则C△EFD=5+10+5=15+5,由(2)可得C△COB=3+,∴C△EFD:C△COB=(15+5):(3+)=5:1.∵EF=5,直径FG=10,可得出∠FGE=30°,∴EG=5,则C△EFG=5+10+5=15+5,∴C△EFG:C△COB=(15+5):(3+)=5:1.15.(1)由题意得:A(4,0),C(0,4),对称轴为x=1.设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则有:,解得.∴抛物线的函数解析式为:y=﹣x2+x+4.(2)①当m=0时,直线l:y=x.∵抛物线对称轴为x=1,∴CP=1.如答图1,延长HP交y轴于点M,则△OMH、△CMP均为等腰直角三角形.11∴CM=CP=1,∴OM=OC+CM=5.S△OPH=S△OMH﹣S△OMP=(OM)2﹣OM•CP=×(×5)2﹣×5×1=﹣=,∴S△OPH=.②当m=﹣3时,直线l:y=x﹣3.设直线l与x轴、y轴交于点G、点D,则G(3,0),D(0,﹣3).假设存在满足条件的点P.a)当点P在OC边上时,如答图2﹣1所示,此时点E与点O重合.设PE=a(0<a≤4),则PD=3+a,PF=PD=(3+a).过点F作FN⊥y轴于点N,则FN=PN=PF,∴EN=|PN﹣PE|=|PF﹣PE|.在Rt△EFN中,由勾股定理得:EF==.若PE=PF,则:a=(3+a),解得a=3(+1)>4,故此种情形不存在;若PF=EF,则:PF=,整理得PE=PF,即a=3+a,不成立,故此种情形不存在;若PE=EF,则:PE=,整理得PF=PE,即(3+a)=a,解得a=3.∴P1(0,3).12b)当点P在BC边上时,如答图2﹣2所示,此时PE=4.若PE=PF,则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点,有GE=GF,过点F分别作FH⊥PE于点H,FK⊥x轴于点K,∵∠OGD=135°,∴∠EPF=45°,即△PHF为等腰直角三角形,设GE=GF=t,则GK=FK=EH=t,∴PH=HF=EK=EG+GK=t+t,∴PE=PH+EH=t+t+t=4,解得t=4﹣4,则OE=3﹣t=7﹣4,∴P2(7﹣