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第八节函数与方程考纲概述考查热点考查频次备考指导(1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数;(2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.零点个数及所在的区域★函数的零点、方程的根的问题,既会在选择题、填空题中,还会在解答题中出现,多以求零点的个数、参数的取值与范围问题的考查为主,体现了对函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等思想的考查.零点性质的应用★二分法1.函数的零点的概念对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.注意:零点不是点!从“数”的角度理解为使方程f(x)=0的实数解;从“形”的角度理解为函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.2.函数零点与方程根的关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.3.函数零点的判断(1)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ=0Δ0y=ax2+bx+c(a0)与x轴的交点2个1个无交点零点个数2个1个0个a(3)有关函数零点常见的结论①若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点;②连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号;③连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号也可能不变号.4.二分法的概念对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.5.用二分法求函数f(x)零点近似值的步聚(1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)0,给定精确度ε;(2)求区间(a,b)的中点c;(3)计算f(c);①若f(c)=0,则c就是函数的零点;②若f(a)·f(c)0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));③若f(c)·f(b)0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)~(4).6.常用的数学方法与思想函数零点个数的判断方法,函数与方程、转化与化归、数形结合思想.1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(1)×(2)若函数y=f(x),x∈D在区间(a,b)⊆D内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)0.()(2)×(3)函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,且f(a)·f(b)0,则在区间(a,b)内有且仅有一个零点.()(3)√2.(2015·安徽高考)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+12.A【解析】y=cosx是偶函数且有无数多个零点,y=sinx为奇函数,y=lnx既不是奇函数也不是偶函数,y=x2+1是偶函数,但没有零点.3.方程2-x+x2=3的实数解的个数为()A.2B.3C.1D.43.A【解析】构造函数y=2-x与y=3-x2,在同一坐标系中作出它们的图象,可知有两个交点,故方程2-x+x2=3的实数解的个数为2.4.若函数f(x)=2x+m存在零点,则m的取值范围是.4.(-∞,0)【解析】由于y=2x在x轴上方,当x越小时,图象越接近y轴,所以m∈(-∞,0)时图象与x轴有且仅有一个交点,故m的取值范围是(-∞,0).考点1函数零点的个数问题典例1(2015·湖南高考)已知函数f(x)=𝑥3(𝑥≤𝑎),𝑥2(𝑥𝑎).【解题思路】函数y=x2和y=x3的交点为(0,0),(1,1),函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则f(x)-b=0有两个根,即直线y=b与y=f(x)有两个交点.作出y=x2与y=x3的图象,如图(1),观察图象,可知当a0时,存在实数b,使f(x)-b=0有两个根,如图(2);当a1时,存在实数b使f(x)-b=0有两个根,如图(3);当0≤a≤1时,f(x)-b=0只有一个根或无根,如图(4).综上,当a0或a1时,g(x)=f(x)-b有两个零点.【参考答案】(-∞,0)∪(1,+∞)若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接法:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:画出两个函数图象,看其交点的个数有几个,就有几个不同的零点.【变式训练】(2015·福州八中质检)对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)0,f(b)0,则函数f(x)在区间(a,b)内()A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点C【解析】由于函数f(x)=x2+mx+n,图象开口向上,当Δ=m2-4n0时,图象与x轴有两个交点,结合题干条件知选项C正确.考点2确定函数零点所在的区间典例2(2015·豫南十校联考)设函数f(x)=13x-lnx,则函数y=f(x)()A.在区间1e,1,(1,e)内均有零点B.在区间1e,1,(1,e)内均无零点C.在区间1e,1内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间1e,1内无零点,在区间(1,e)内有零点【解题思路】作两个函数的图象观察其交点,或从导数的角度入手考查单调性,求出区间端点值比较.解法1:令f(x)=0得13𝑥=ln𝑥.作出函数𝑦=13𝑥和𝑦=ln𝑥的图象,如图,显然𝑦=𝑓(𝑥)在1e,1内无零点,在(1,e)内有零点.解法2:当𝑥∈1e,e时,函数图象是连续的,且𝑓′(𝑥)=13−1𝑥=𝑥-33𝑥0,所以函数𝑓(𝑥)在1e,e内单调递减.又𝑓1e=13e+10,𝑓(1)=130,𝑓(e)=13e-10,所以函数有唯一的零点在区间(1,e)内.【参考答案】D函数零点所在区间的确定方法(1)当对应的方程f(x)=0的解容易求出时,则通过求出方程的解,观察解所在区间即得零点所在的区间.(2)当方程的解不易求解时可按下列步骤进行:一看函数在区间[a,b]上的图象是否连续,二看是否有f(a)·f(b)0,若有,则函数y=f(x)的零点在区间(a,b)内.(3)通过作出函数的图象,观察图象与x轴在所给的区间是否有交点来判断.考点3函数零点的应用命题角度1:利用函数的零点求参数的取值范围典例3(2015·龙岩质检)若函数f(x)=2sin2𝑥+π6+a-1(a∈R)在区间0,π2上有两个零点x1,x2(x1≠x2),则x1+x2-a的取值范围是()A.π3-1,π3+1B.π3,π3+1C.2π3-1,2π3+1D.2π3,2π3+1【解题思路】函数f(x)=2sin2𝑥+π6+𝑎−1的周期为π,令2𝑥+π6=π2,得𝑥=π6,即函数图象在𝑦轴右侧的第一条对称轴方程为𝑥=π6,由于函数的两个零点为𝑥1,𝑥2,所以𝑥1+𝑥2=2×π6=π3.因为函数𝑓(𝑥)=2sin2𝑥+π6+𝑎−1(𝑎∈𝐑)在区间0,π2上有两个零点𝑥1,𝑥2(𝑥1≠𝑥2),所以𝑦=2sin2𝑥+π6的图象与直线𝑦=1−𝑎在区间0,π2上有两个交点,由𝑥∈0,π2,可得2𝑥+π6∈π6,7π6,则2sin2𝑥+π6∈[1,2],所以1≤1−𝑎2⇒−1𝑎≤0,故0≤−𝑎1,因此π3≤𝑥1+𝑥2−𝑎π3+1.【参考答案】B命题角度2:利用函数的零点研究函数的根的大小或方程(不等式)的解典例4已知函数f(x)=(x-a)(x-b)+2(ab),若α,β(αβ)是方程f(x)=0的两个根,则实数a,b,α,β之间的大小关系是()A.αabβB.aαβbC.aαbβD.αaβb【解题思路】利用g(x)=(x-a)(x-b)的零点为a,b,作出图象,利用平移变换,数形结合思想考查.令g(x)=(x-a)(x-b),显然函数g(x)=(x-a)(x-b)的两个零点是a,b,而函数f(x)=(x-a)(x-b)+2的两个零点是α,β,又函数f(x)的图象是将函数g(x)=(x-a)(x-b)图象向上平移2个单位得到,因此数形结合易知aαβb.【参考答案】B1.利用函数的零点求参数的取值范围已知函数有零点(或方程有根、图象有交点)求参数值或范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察交点个数进行求解.2.利用函数的零点研究函数的有关性质利用函数零点的区间来构建不等关系进而研究其性质,如方程的解、单调性、周期性等.【变式训练】1.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3,若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则()A.0g(a)f(b)B.f(b)g(a)0C.f(b)0g(a)D.g(a)0f(b)D【解析】由于函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增,且f(0)=-10,f(1)=e-10,f(a)=0,由零点的存在性定理知,a∈(0,1),同理可知,b∈(1,2).由于函数f(x)和g(x)都在定义域上单调递增,则g(a)g(1)=-20,f(b)f(1)=e-10,于是有g(a)0f(b).2.(2015·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=12𝑥+34(𝑥≥2),log2𝑥(0𝑥2).若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,则实数k的取值范围是.34,1【解析】画出函数𝑓(𝑥)的图象如图.要使函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑘有两个不同零点,只需𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑘的图象有两个不同交点,由图易知𝑘∈34,1.分类讨论思想在函数零点问题中的应用分类讨论思想在解决函数的零点与定区间的关系中起关键作用,这也是学生最易出错的地方.典例(2014·天津高考)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.【解题思路】方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,即函数y=f(x),y=a|x-1|恰有4个互异的交点.当a0时,原方程显然无解,当a=0时,原方程有两解,均不符合题意,舍去,所以a0.当y=a(x-1)与y=x2+3x的图象相切时,方程x2+3x=a(x-1),即x2+(3-a)x+a=0有两个相等的根,所以(3-a)2-4a=0,解得a=1(舍去)或9,所以当a9时满足题意;当y=-a(x-1)与y=-x2-3x的图象相切时,方程x2+3x=a(x-1),即x2+(3-a)x+a=0有两个相等的根,所以(3-a)2-4a=0,解得a=1或9(舍去),所以当0a1时满足题意,故实数a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞).【参考答案】(0,1)∪(9,+∞)【针对训练】(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=x3+ax+14,g(x)=-lnx.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x0),讨论h(x)零点的个数.【解析】(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f'(x0)