专题：立体几何题型与方法(文科)

专题：立体几何题型与方法（文科）一、考点回顾1．平面（1）平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。（2）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。（3）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。（4）证共面问题一般用落入法或重合法。（5）经过不在同一条直线上的三点确定一个面.2.空间直线.（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。（2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（5）两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,ll是异面直线，则过21,ll外一点P，过点P且与21,ll都平行平面有一个或没有，但与21,ll距离相等的点在同一平面内.（l1或l2在这个做出的平面内不能叫l1与l2平行的平面）3.直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若PA⊥，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），得不出⊥PO.因为a⊥PO，但PO不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点.[一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。4.平面平行与平面垂直.（1）空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.（3）两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）（4）两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）（5）两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.POAa推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.5.锥、棱柱.（1）棱柱性质①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.（×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.（2）棱锥性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.（3）球：a.球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24RS.②球的体积公式：334RV.b.纬度、经度：①纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上BA,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.附：①圆柱体积：hrV2（r为半径，h为高）②圆锥体积：hrV231（r为半径，h为高）③锥形体积：ShV31（S为底面积，h为高）（1）①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，ah36，243aS底，243aS侧，OrOR得RaRaaa2224331433643aaaR46342334/42.注：球内切于四面体：hSRS313RS31V底底侧ACDB。②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.6.空间向量.（1）a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.（2）空间向量基本定理：如果三个向量．．．．cba,,不共面．．．，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使czbyaxp.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z使OCzOByOAxOP(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD的三条棱，,,,dADcACbAB其中Q是△BCD的重心，则向量)(31cbaAQ用MQAMAQ即证.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC，则四点P、A、B、C是共面1xyz（3）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a=(a1,a2,a3),),,(321bbbb，则),,(332211babababa，))(,,(321Raaaa，332211babababa，a∥)(,,332211Rbababab332211bababa。0332211babababa。222321aaaaaa(用到常用的向量模与向量之间的转化：aaaaaa2)空间两个向量的夹角公式232221232221332211||||,cosbbbaaababababababaOABCD（a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb）。②空间两点的距离公式：212212212)()()(zzyyxxd.７．知识网络二、经典例题剖析考点一空间向量及其运算例题1.已知,,ABC三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OPOAOBOC，试判断：点P与,,ABC是否一定共面？分析：要判断点P与,,ABC是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对,xy，使APxAByAC或对空间任一点O，有OPOAxAByAC。解：由题意：522OPOAOBOC，∴()2()2()OPOAOBOPOCOP，∴22APPBPC，即22PAPBPC，所以，点P与,,ABC共面．点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．例题2.如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且13BMBD，13ANAE．求证：//MN平面CDE．分析：要证明//MN平面CDE，只要证明向量NM可以用平面CDE内的两个不共线的向量DE和DC线性表示．证明：如图，因为M在BD上，且13BMBD，所以111333MBDBDAAB．同理1133ANADDE，又CDBAAB，所以MNMBBAAN1111()()3333DAABBAADDE2133BADE2133CDDE．又CD与DE不共线，根据共面向量定理，可知MN，CD，DE共面．由于MN不在平面CDE内，所以//MN平面CDE．点评：空间任意的两向量都是共面的．考点二证明空间线面平行与垂直例题3.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；分析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（23，2,0）ABCA1B1C1Exyz转化转化（1）∵AC＝（－3,0，0），1BC＝（0，－4,0），∴AC•1BC＝0，∴AC⊥BC1.（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵DE＝（－23，0,2），1AC＝（－3,0，4），∴121ACDE，∴DE∥AC1.点评：平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关定义及判定定理和性质定理．例题4.（北京市东城区2007年综合练习）如图，在棱长为2的正方体ABNBCMBDODCBAABCD为的中点为的中点为中,,,11111的中点，P为BB1的中点.（I）求证：CBBD11；（II）求证MNPBD平面1；（III）求异面直线MCOB11与所成角的大小.分析：本小题考查直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.解法一：（I）连结BC1由正方体的性质得BC1是BD1在平面BCC1B1内的射影11BCCB且，所以CBBD11(II)又MPMMN，.1MNPBD平面（III）延长OQQBBMBQQCB,,,1连结使到.//.,//111111MCQBBCQMBCQM且则.111所成的角与是异面直线MCOBQOB由于正方体的棱长为2，1515532)6()5()3(cos.6,,5,322212121122111QOBQOOOOQOABCDBQBBQBOB可求得的中点为设底面则即异面直线MCOB11与所成角的大小为arccos1515.解法二：（I）如图建立空间直角坐标系.则B（2，2，0），C（0，2，0）B1（2，2，2），D1（0，0，2）.),2,0