概率论与数理统计5-2

牡丹江师范学院教案教研室：教师姓名：授课时间:课程名称概率论与数理统计授课专业和班级授课内容连续随机变量的概率密度授课学时2学时教学目的掌握连续随机变量的概率密度教学重点连续随机变量的概率密度教学难点求连续随机变量的概率密度函数教具和媒体使用板书教学方法讲授法、研讨法、读书指导法教学过程包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容时间分配(90分钟)复习旧课本课程知识的引入重点和难点讲授1、连续随机变量的概率密度2、求连续随机变量的概率密度函数本节小结作业布置10分钟10分钟30分钟30分钟5分钟5分钟板书设计第二章随机变量及其分布§2.6连续随机变量的概率密度1、定义2、性质3、例题讲授新拓展内容课后总结教研室主任签字年月日讲稿讲授内容备注§2.6连续随机变量的概率密度1．定义连续随机变量X落在区间(,)xxx内的概率：()PxXxx其中x是任何实数，0x是区间的长度，比值()PxXxxx叫做随机变量X在该区间上的平均概率分布密度。如果当0x时，比值()PxXxxx的极限存在，则这极限叫做随机变量X在点x处的概率分布密度或概率密度，记作f（x）：0()()limxPxXxxfxx2．连续随机变量的分布函数F（x）与概率密度f（x）之间具有如下关系：（1）'0()()()lim()xFxxFxfxFxx连续随机变量的概率密度f（x）是分布函数F（x）的导函数。也就是说，分布函数F（x）是概率密度f（x）的一个原函数。（2）()()()xFxPXxfxdx连续随机变量的分布函数F（x）等于概率密度f（x）在区间(,]x上的反常积分。3．概率密度的性质：（1）非负性：f（x）≥0，x（2）对于任意的实数a，b（a＜b），a＜x≤b，有()()baPaxbfxdx一般情况下：()1fxdx（3）若f（x）在点x处连续，则'()()fxFx。（4）对任意实数a，总有P{x=a}=0.连续随机变量X落在区间（x1，x2）内的概率等于它的概率密度f（x）在该区间上的定积分，即2112()()xxPxxxfxdx。几何意义：57页，图17。特别地，连续随机变量X落在区间(,)xxx内的概率：()()()xxxPxXxxfxdxfxx乘积()fxx叫做概率微分。上式表明：连续随机变量X落在小区间(,)xxx内的概率近似等于概率微分。例1（58页）在§2.5例1中，求随机变量X的概率密度f（r）。解已知220,0;(),0;1,.rrFrrRRrR得22,0;()0,rrRfrR其它当r＝R时，'F()R不存在，不妨定义f（R）＝0。58页，图18。例2（58）设连续随机变量X的概率密度2()1Afxx，x。求：（1）常数A；（2）随机变量X落在区间[0，1]内的概率；（3）随机变量X的分布函数。解（1）根据概率密度的性质：211Adxx即2111AdxAx，得1A，所以21()(1)fxx，x（2）1201(01)0.25(1)4dxpxx（3）2111()(arctan)arctan(1)22xdxFxxxx概率密度及分布函数如图：58页图19，图20。这个分布叫做柯西分布。2.17函数211x可否是连续随机变量X的分布函数，如果X的可能值充满区间：（1）（－∞，＋∞）；（2）（－∞，0）？知识点：分布函数的基本概念和性质解：（1）在区间（－∞，＋∞）内，函数211x处处连续，并且0＜211x＜1。但当x＞0时，函数211x为递减函数；当x≤0时，函数211x为递增函数；说明整个函数在区间（－∞，＋∞）内，单调性不同，而作为分布函数需要满足非减函数这个条件，所以函数211x在（－∞，＋∞）内不是连续随机变量X的分布函数。（2）在区间（－∞，0）上，函数211x单调非减，满足条件且21lim01xx，22011limlim111xxxx且0＜211x＜1，所以在区间（－∞，0）上可以是连续随机变量X的分布函数。2.18（柯西分布）设连续随机变量X的分布函数为()arctanFxABx，－∞＜x＜＋∞求：（1）系数A及B；（2）随机变量X落在区间（－1，1）内的概率；（3）随机变量X的概率密度。知识点：连续随机变量的分布函数的性质及相关计算解：lim()lim(arctan)02xxFxABxABlim()lim(arctan)12xxFxABxAB得12A，1B即11()arctan2Fxx，－∞＜x＜＋∞（2）1111(11)(1)(1)()()0.52424PxFF（3）''2111()()(arctan)21fxFxxx，－∞＜x＜＋∞2.20随机变量X的概率密度为2,1()101.Axfxxx，求：（1）系数A；（2）随机变量X落在区间11(,)22内的概率；（3）随机变量X的分布函数。知识点：概率密度的性质和相关计算解：（1）121()11AfxdxdxAx，得1A∴21,1()10,1xfxxx（2）121221111()2231Pxdxx（3）当x＜－1时，f（x）＝0，()()0xFxfxdx当－1≤x＜1时，121111()0arcsin21xFxdxdxxx当x≥1时，112111()0011xFxdxdxdxx综上，分布函数0,111()arcsin,1121,1xFxxxx三、总结掌握连续随机变量的概念；理解分布函数和概率密度的定义；理解分布函数和概率密度的性质；会求简单的分布函数和概率密度。四、作业习题二（83页）：2.20；2.21参考书目《概率论与数理统计教程》沈恒范高等教育出版社《概率论与数理统计教程辅导及习题全解》周奎伟宋彩霞人民日报出版社