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1.3矩形的性质和判定第1页1.3矩形的性质和判定【学习目标】：1、学会识别矩形；2、掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单的问题；3、会运用矩形的知识解决有关问题,重点：掌握矩形的性质，并学会应用难点：理解矩形的特殊性【知识梳理】1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．【例题精讲】【矩形的判定】【例1】如图，在四边形ABCD中，90ABCBCD，ACBD.求证：四边形ABCD是矩形．【例2】如图，已知在四边形ABCD中，ACDB交于O，E、F、G、H分别是四边的中点，求证四边形EFGH是矩形．HGOFEDCBACDBA1.3矩形的性质和判定第2页【例3】如图，在平行四边形ABCD中，M是AD的中点，且MBMC，求证：四边形ABCD是矩形．【例4】设凸四边形ABCD的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个四边形是什么四边形?请证明你的结论。【例5】如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形．【例6】如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AFBD，连结BF．⑴求证：BDCD．⑵如果ABAC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．【例7】已知，如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的高，AF是BAC的外角平分线，DE∥AB交AF于E，试说明四边形ADCE是矩形．FEDCBA321FEDCBAMCDBANMQPDCBA1.3矩形的性质和判定第3页EFDCABABCEFD【例8】如图所示，在RtABC中，90ABC，将RtABC绕点C顺时针方向旋转60得到DEC点E在AC上，再将RtABC沿着AB所在直线翻转180得到ABF连接AD．⑴求证：四边形AFCD是菱形；⑵连接BE并延长交AD于G连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？【例9】如图，在ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，AEF的两条高相交于M，20AC，16EF，求AM的长．【例10】已知，如图矩形ABCD中，延长CB到E，使CEAC，F是AE中点．求证：BFDF．【矩形的性质及应用】【例11】如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AEAD，DFAE，垂足为F.线段DF与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即DF.(写出一条线段即可)【例12】如图，在矩形ABCD中，,EF分别是,BCAD上的点，且BEDF.求证：ABE≌CDF..MFEDCBAABCDGEFDEFCAB1.3矩形的性质和判定第4页OPABCDEFPABCDPABCD【例13】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，60AOB，2AB，则矩形的对角线AC的长是（）A．2B．4C．23D．43【例14】矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，如果ABC的周长比AOB的周长大10cm，则边AD的长是．【例15】如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AEBD于E，31DAEBAE∶∶，则EAC_______．【例16】如图在矩形ABCD中，已知12AD，5AB，P是AD边上任意一点，PEBDPFAC，，E、F分别是垂足，求PEPF的值．【例17】如图，在矩形ABCD中，2BC，AEBD于E，若30BAE，则ECDAS．【例18】已知，矩形ABCD和点P，当点P如图位置时，求证：PBCPACPCDSSS△△△【例19】已知矩形ABCD和点P，当点P在矩形ABCD内时，试求证：PBCPACPCDSSS△△△EODCBAODCBAEDCBA1.3矩形的性质和判定第5页PDCBANMFEDCBADCBEFA【例20】如图所示，矩形ABCD内一点P到A、B、C的长分别是3、4、5，求PD的长．【例21】如图，O是矩形ABCD的对角线交点，过点O作EFAC分别交AD、BC于F、E，若2cmAB，4cmBC，求四边形AECF的面积．【例22】如图，将矩形ABCD沿AC翻折，使点B落在点E处，连接DE、CE，过点E作EHAC，垂足为H．⑴、判断ACED是什么图形,并加以证明；⑵、若8AB，6AD．求DE的长；⑶、四边形ACED中，比较AEEC与ACEH的大小．【例23】如图所示，在矩形ABCD和矩形BFDE中，若ABBF，求证：MNCF．【例24】矩形ABCD中，延长CB到E，使CECA，F是AE的中点，求证：BFDF．DCBAEHOFEDCBA1.3矩形的性质和判定第6页DABCEF【例25】已知，如图，矩形ABCD中，CEBD于E，AF平分BAD交EC于F，求证：CFBD．【例26】在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连结BE，且2BEAE，BD是EBC的平分线．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQBD∥交直线BE于点Q．⑴、当点P在射线ED上运动时（如图1），请你猜想BE、PD、33PQ三者之间的数量关系，并证明你的猜想；⑵、若6BC，设PQ长为x，以PQD、、三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；⑶、在⑵的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连结QC，过点P作PFQC，垂足为F，PF交BD于点G（如图2），求线段PG的长．图1CDPEQBA备用图ADECB图2GFEPDABQC