因式分解经典讲义(精)

可以失败，但不可以放弃第二章分解因式【知识要点】1．分解因式（1）概念：把一个________化成几个___________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。（2）注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。③分解因式要分解到不能再分解为止。2．分解因式与整式乘法的关系整式乘法是____________________________________________________；分解因式是____________________________________________________；所以，分解因式和整式乘法为_______关系。3．提公因式法分解因式（1）公因式：几个多项式__________的因式。（2）步骤：①先确定__________，②后__________________。（3）注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。4．运用公式法分解因式（1）平方差公式：_________________________（2）完全平方公式：_________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：（1）3241626mmm（2）2()3()xyzyz（3）2()()()xxyxyxxy（4）(34)(78)(1112)(78)abababab可以失败，但不可以放弃解析：（1）题先提一个“”号，再提公因式2m；（2）题的公因式为yz；（3）题的公因式为()xxy；（4）题的公因式为78ab。答案：（1）22(2813)mmm；（2）()(23)yzx；（3）2()xyxy；（4）22(78)ab。【例2】（1）已知5xy，6xy，求2222xyxy的值。（2）已知6ba，7ab，求22abab的值。解析：（1）题：22222()xyxyxyxy，所以考虑整体代入求该代数式的值；（2）题：22()abababab，整体代入求值时注意符号。答案：（1）60（2）42【随堂练习】1．分解因式：（1）3423222102xyxyxy（2）()()()(2)mnmnnmmn（3）(23)()(32)()xyabxyab（4）32222(2)(2)(2)xxxxxx2．不解方程组212211xyxy，求32(2)(2)(3)xyxyxy的值注：（1）公因式应按“系数大（最大公约数），字母同，指数低”的原则来选取。可以失败，但不可以放弃（2）当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1，而不是没有。（3）当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。（4）利用分解因式整体代入往往应用于代数式的求值问题。考点二：利用平方差公式分解因式及其应用【例3】分解因式：（1）22(31)(2)xx（2）44pq解析：（1）题：原式从整体看符合平方差公式，所以整体套用平方差公式；（2）题：442222()()pqpq，所以符合平方差公式，此题注意分解完全。答案：（1）(41)(23)xx；（2）22()()()pqpqpq。【例4】计算：（1）22221111(1)(1)(1)(1)567200；（2）22200820072009999.解析：（1）题：原式中每一个因式符合平方差公式，可以借助分解因式简化计算。111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)55662002004657199201420120155662002005200250原式（2）题：先化简，再使用平方差公式。22222222008(20081)(20081)9992008(20081)9991999(1999)(1999)998000原式答案：（1）201250；（2）998000。【例5】利用因式分解说明：712366能被140整除。解析：对于符号相反的二项式，我们考虑使用平方差公式。此种题型应先将两项化为底数相同的情况，再利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，最后凑出除数。712271214121221211366(6)6666(61)6356140所以712366能被140整除。【随堂练习】可以失败，但不可以放弃1．分解因式：（1）4axa（2）229()()xabyba2.利用分解因式说明：712255能被60整除.注：（1）平方差公式的结构特征是：二项式，两项都是平方项，且两项符号相反；（2）公式中的,ab可以是具体数，也可以是代数式；（3）在运用平方差公式的过程中，有时需要变形。考点三：利用完全平方公式分解因式及其应用【例6】（1）分解因式：222abxabxyaby（2）已知21364xbx是完全平方式，求b的值。（3）计算：9999999919999.解析：（1）题：原式要先提取公因式，再利用完全平方差公式进行分解。（2）题：此种题型考察完全平方公式的特征，中间项是首尾两项底数积的2倍（或其相反数）。（3）题：22899999999199999999299991(99991)10。答案：（1）2()abxy；（2）6；（3）810【例7】（四川·成都）已知113yx，那么2212323xxyy的值是________。解析：原式的前三项可以进行因式分解，分解为21(3)3xy，再将113yx变形为33xy，整体代入求值。答案：1．【随堂练习】可以失败，但不可以放弃1．（1）分解因式：22()()1abab（2）若多项式22(1)9akabb能运用完全平方差公式进行因式分解，求k的值。（3）19991999200019992．（1）已知：5ab，3ab，求代数式32232ababab。（2）当12st时，求代数式222sstt的值。注：（1）完全平方公式的结构特征是：三项式，首尾两项分别为两个数的平方，中间项是两个底数积的2倍（或其相反数）；（2）公式中的,ab可以是具体数，也可以是代数式；考点四：综合利用各种方法分解因式及其应用【例8】分解因式：（1）4224817216mmnn（2）2244caa解析：（1）、（2）题都应先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解。答案：（1）22(32)(32)mnmn；（2）(2)(2)acac。【例9】（福建·漳州）给出三个多项式：22211121,41,2222xxxxxx，请选择你最喜欢的两个多项式进行加减运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。解析：本题是一道开放题，只要所得整式可以因式分解。本题可任取两个多项式进行加法运算再因式分解。如：22211(21)(41)6(6)22xxxxxxxx可以失败，但不可以放弃【例10】已知,,abc分别是三角形ABC的三边，试证明22222()40abcab解析：已知,,abc分别是三角形ABC的三边，可以想到利用三角形的三边关系，再由不等式的左边是平方差形式，可想到利用平方差公式分解因式。222222222222222()4(2)(2)()()()()abcababcababcababcabcabcabcabcabc由三角形三边关系可知，上式的前三个因式大于0，而最后一个因式小于0，则有：22222()40abcab【随堂练习】1．分解因式：（1）22222()4xyxy（2）27624aa2.（2009，吉林）在三个整式：2222,2,xxyyxyx中，请你任意选出两个进行加（或减）法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。注：分解因式的一般步骤可归纳为：“一提、二套、三查”。一提：先看是否有公因式，如果有公因式，应先提取公因式；二套：再考察能否运用公式法分解因式；运用公式法，首先观察项数，若为二项式，则考虑用平方差公式；若为三项式，则考虑用完全平方公式。三查：分解因式结束后，要检查其结果是否正确，是否分解彻底。【巩固提高】一、选择题1．下列从左到右的变形中，是分解因式的有（）可以失败，但不可以放弃①2)2)(1(2xxxx②)3)(3(92xxx③)1)(1(1babaab④aaaaa)2)(2(42⑥(1)(3)(3)(1)yyyy⑦21a=1()aaaA、1个B、2个C、3个D、4个2．下列多项式能分解因式的是（）A、2xyB、21xC、22xyyD、244xx3．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）A、412mmB、222yxyxC、224914babaD、13292nn4．cba、、是△ABC的三边，且bcacabcba222，那么△ABC的形状是（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形5．如果2592kxx是一个完全平方式，那么k的值是（）A、15B、5C、30D、306．已知多项式cbxx22分解因式为)1)(3(2xx，则cb,的值为（）A、1,3cbB、2,6cbC、4,6cbD、6,4cb7．已知22230(0)xxyyxy，则xyyx的值是（）A、2或122B、2C、122D、2或1228．若232()()()pqqpqpE，则E是（）A、pq1B、pqC、qp1D、1qp9．已知二次三项式2xbxc可分解为两个一次因式的积()()xx，下面说法中错误的是（）A、若0,0bc，则、同取正号；B、若0,0bc，则、同取负号；C、若0,0bc，则、异号，且负的一个数的绝对值较大；D、若0,0bc，则、异号，且负的一个数的绝对值较大。10．已知20022003ax，20022004bx，20022005cx，则多项式可以失败，但不可以放弃222abcabbcca的值为（）A、0B、1C、2D、3二、填空题11.分解因式：54mm=.12．在括号前面填上“＋”或“－”号，使等式成立：22)()(yxxy13．若92mxx是一个完全平方式，则m的值是；14．已知：220,20abaabb，那么22abab的值为_____________.15．△ABC的三边满足4222240abcacb，则△ABC的形状是__________.16.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是.17．若22()xyxyxyA，则A=___________.18．分解因式:221()nnxabyba________________________.(第16题图)19．若2226100aabb，则a___________，b___________.20．若2222()(1)12xyxy，则22()xy___________.三、解答题21.分解因式：（1）323328126ababcabc（2）8()4()6()axabaxcxa（3）5335xyxy（4）224()16()abab（5）4416nm（6）22)(16)(9nmnm（7）32)(10)(5xynyxm（8）