空间点线面的位置关系(优质课)

空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、面组成.认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的.§4空间图形的基本关系与公理A1BD1C1DCB1A观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、地面之间的关系吗？长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题.常常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形.如果一个平面被另一个平面挡住，则这遮挡的部分用虚线画出来也可以不画。.平面的概念与画法几何里的平面是无限延展的.表示①平面α、平面β、平面γ；②用表示平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母来表示，如平面ABCD或平面AC、平面BD.αβ1.空间点与直线的位置关系有两种：①点A在直线上②点B在直线外AB2.空间点与平面的位置关系有两种：①点B在平面内②点A在平面外记作：lABA记作：bB记作：B记作：Alb3.空间直线与平面的位置关系有三种：直线a与平面α有无数多个公共点1、直线在平面内直线与平面只有一个公共点2、直线与平面相交Aαa记作：直线a∩平面α=点A直线与平面没有公共点3、直线与平面平行αaαa记作：直线a平面α记作：直线a//平面α（2）两个平面相交---两个平面不重合，并且有公共点4.空间平面与平面的位置关系有两种：（1）两个平面平行---没有公共点的两个平面α记作：平面α//平面β记作：直线a平面β平面αa5.空间两条直线的位置关系：①平行直线——②相交直线——③异面直线——在同一个平面内，没有公共点的两条直线。在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线。不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。γababα记作：a//bbβaO记作：Oba点、线、面之间的位置关系及语言表达点A在直线a上A∈a点A不在直线a上A∈a点A在平面α上A∈α点A不在平面α上A∈αAα文字语言表达图形语言表达符号语言表达AaaAAα直线a在平面α内αa直线a在平面α外αaαAab∩α＝Aa∥α小结αa1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．alABalPb（1）（2）ABABCDCD2.观察长方体中点、直线、平面之间的位置关系(1)过一点可以做几条直线？两点呢？(2)过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？思考：backABC公理1：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,,,,不共线有且只有一个平面，使得ABCABC①图形语言：②符号语言：3.平面的基本性质推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.ABCa已知点Aa，求证过点A和直线a可以确定一个平面.3.平面的基本性质推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.baαabα推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.ABCa注3：公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.ABC公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.3.平面的基本性质思考：(1)不共面的四点可以确定多少个平面?(2)共点的三条直线可以确定多少个平面?4个1个或3个,,且AlBlABl①图形语言：ABl公理2：若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内.②符号语言：3.平面的基本性质思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？不会！因为平面是无限延展的.因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并且这些公共点在一条直线上.3.平面的基本性质Pl公理3：若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线.①图形语言：②符号语言：③该公理反映了平面与平面的位置关系：3.平面的基本性质PP,lPl3.填空:(1)_________________的三点确定一个平面;(2)两条或直线确定一个平面;(3)有一个公共点的两个平面交于的一条直线.不在同一直线上平行相交唯一4.下列命题正确的是()A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D5.判断下列命题是否正确:(1)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点.(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.(3)经过两条相交直线,有且只有一个平面.(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合.×√√√练习backabced我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?观察:将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边a,b,c,d,e,…之间有何关系？a∥b∥c∥d∥e∥…'//','//'''BBAADDAABBDD观察：在右图的长方体中，，那么与平行吗？ABCDA'B'C'D'3.平面的基本性质符号表示:caabcc(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.aα//,////.abbcac①平行具有传递性；注4：②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.3.平面的基本性质例在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB与C1D1，AD1与BC1是什么位置关系？为什么？解：C1ABCDA1B1D11）∵AB∥A1B1，C1D1∥A1B1，∴AB∥C1D12）∵AB∥C1D1，且AB=C1D1∴ABC1D1为平行四边形故AD1∥BC1练习：上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？例已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形.问1:若上例加上条件AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥FG且EH=FG．∴EFGH是一个平行四边形．证明：连结BD，同理，FG∥BD且FG=BD．12∴EH∥BD且EH=BD．12ABDEFGHC菱形“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．,//,.//.,,1//.21//.2.EFAEBCAEBCABFEABEFABEFCDCDGEFDCEFDCEFDCABDCABABCD（1）证明:连接因为且所以四边形为平行四边形且又因为分别为棱边的中点为的中位线.且即且四边形为梯形ABCDEFGback4.点线共面问题(1)证明的主要依据：公理1；公理2及其三个推论.(2)证明的常用方法：①纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合.例证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.ABC已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C求证：直线AB，BC，AC共面.证明：因为AB∩AC=A，所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，故BC.（公理1）因此直线AB，BC，CA共面.确定一个面，再证明其余线在该面内.4.点线共面问题练已知求证:直线,,共面.,,,D,ABCllADBDCDABCDl证明与确定平面:..DllD又,,,,,.ABCllABC又即共面.,,,,,DBDCDADADBDCD4.点线共面问题证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面.已知：a//b，a∩c=A，b∩c=B.求证：直线a，b，c共面.证明：因为a//b，所以直线a，b确定一个平面.（推论3）因为A∈a，B∈b，所以A∈，B∈.又因为A∈c，B∈c.故AB.（公理1）因此直线a，b，c共面.abcAB4.点线共面问题思考已知一条直线与三条平行直线都相交，证明这四条直线共面.abcABCl已知：a//b//c，a∩l=A，b∩l=B,c∩l=C.求证：直线l与a，b，c共面.证明：∵a//b，∴直线a，b确定一个平面.（推论3）∵l∩a=A，l∩b=B，∴A∈，B∈.又A∈l，B∈l，故l.同理，直线b，c确定一个平面，且l.∴平面与都过两相交直线b，l.又∵两相交直线确定一个唯一的平面.∴与重合.故l与a，b，c共面.证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.4.点线共面问题练已知a，b，a∩b=A，P∈b，PQ//a.求证：PQ.abQAPPQ//,PQ.P,.证明:直线与确定一个平面，设为aaaP,,P.又且baa1P.PQ.由推论，过，有且只有一个平面和重合，即有a4.点线共面问题(1)证明的主要依据是公理3：如果两个平面相交，则这两个平面的公共点共线；如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交点必在这两个平面的交线上.(2)证明的常用方法：①首先找出两个平面，再证这三个点都是这两个平面的公共点；②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一个点也在其上（一般地，这条直线看作某两个平面的交线，往证第三个点也是两个面的公共点）；③证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证明第三条直线经过这个点（转化为证明点在线上的问题）5.证明三点共线、三线共点的问题例1已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、Q、R.求证：P、Q、R共线.BAQRCP证明：同理Q、R也为公共点，所以P、Q、R共线.要证明各点共线，只要证明他们是两个相交平面的公共点.ABCABC.平面平面PABPABC.又平面PP5.证明三点共线、三线共点的问题空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.分析：已知EH∩FG=K，要证EH，BD，FG共点.即要证明B，D，K三点共线.而BD是面ABD和面CBD的交线.所以往证K∈面ABD∩面CBD.而显然，由EH∈面ABD，K∈EH，可得K∈面ABD.同理，由FG∈面CBD，K∈FG，可得K∈面CBD.ABCDEFHGK5.证明三点共线、三线共点的问题111111111,,.(2),,,,.ABCDABCDMCBDACPCMEFABAACEDFDA练习正方体中，(1)是该正方体下底面的中心，过作一截面，求证：此截面与对角线的交点一定在上若分别是的中点，求证：三线共点ABCDA1B1C1D1MFEABCDA1B1C1D1O1O11111111111111111111..,,.,,,,.,,.ABCDABCDAACCCBBBAOCCACBACDDABCDABCDOOAACCBBDDOO例如图，在正方体中，(1)判断下列命题是否正确，并说明理由：直线在平面内；点可确定一个平面；由点确定的平面与由点确定的平面是同一个平面；设正方形与的中心分别为则面与面的交线为1111..与面的交点落在直线上EACBDDBOO√√√××ABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1EF找两平面的两个公共点111111111111;;长方体中，画出下列平面的交线：(1)平面与平面(2)平面与平面ABCDABCDACDBDDACBABD例几何体中的截面问题（两平面的交线问题）??NDABCC'A'B'D'MNQPQ即交线为QN'''',','',,;,';aABCDABCDMNAADCDMNllABPPB在棱长为的正方体中，分别是的中点.(1)画出过点的平面与正方体的下底面的