高一数学第二章末基本初等函数习题课件

章末归纳总结•一、熟练掌握指数幂的定义、运算法则、公式和对数的定义、运算法则、公式是指对函数及其一切运算赖以施行的基础•1．指数幂的定义与运算[例1](1)计算(0.027)－13－17－2＋27912－(2－1)0；(2)已知10α＝2,10β＝3，求1002α－13β.2．对数的定义与运算[例2]函数y＝lg(1－1x)的定义域是()A．{x|x0}B．{x|x1}C．{x|0x1}D．{x|x0或x1}[答案]D[解析]由题意可知1－1x0，得x0或x1，选D.[例3]计算lg2＋lg3－lg10lg1.8.[解析]原式＝12(lg2＋lg9－lg10)lg1.8＝12lg1810lg1.8＝12.[例4]已知9a＝2b＝136，求1a＋2b的值．[解析]对条件式等号两边各取以16为底的对数得，a·lg169＝blog162＝2.∴1a＋2b＝log163＋log162＝log166＝－1.二、熟悉幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质是熟练求解幂指对问题的关键1．熟悉幂指对函数的图象特征，是用数形结合法解决幂指对问题的前提．[例1]已知c0，下列不等式中成立的一个是()A．c2cB．c(12)cC．2c(12)cD．2c(12)c[解析]在同一坐标系中分别作出y＝x，y＝(12)x，y＝2x的图象(如右图)，显然x0时，x2x(12)x，即c0时，c2c(12)c，故选C.•[例2]方程2x－x2＝2x＋1的解的个数为______．•[解析]原方程即2x＝x2＋2x＋1，在同一坐标系中画出y＝2x，y＝x2＋2x＋1的图象，由图象可知有3个交点.•[例3]0.32，log20.3,20.3这三数之间的大小顺序是()•A．0.3220.3log20.3•B．0.32log20.320.3•C．log20.30.3220.3•D．log20.320.30.32•[分析]可分别画出y＝2x，y＝log2x与y＝x2的图象用图象来解决，也可以由幂、指、对函数值的分布规律解决．•[解析]如图，•在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝x2及y＝log2x的图象．•观察图象知当x＝0.3时，log20.30.3220.3.选C.•[例4]方程log3x＋x＝3的解所在的区间是()•A．(0,1)B．(1,2)•C．(2,3)D．(3，＋∞)•[解析]直接解方程是无法实现的，而借助于数形结合思想作出图象，则问题易于解决．•设y1＝log3x，y2＝－x＋3，•在同一坐标系中画出它们的图象(如下图)观察可排除A，D.其交点P的横坐标应在(1,3)内．•又x＝2时，y1＝log321，•而y2＝－x＋3＝1，且知y1是增函数，y2是减函数，所以交点P的横坐标应在(2,3)内，∴选C.•[例5]设x∈(0,1)时，函数y＝xp的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．•[解析](1)当p0时，根据题意p1，∴0p1.•(2)当p＝0时，函数为y＝1(x≠0)，符合题意．•(3)当p0时，在(0，＋∞)上过(1,1)点，函数为减函数，符合题意．•综上所述，p的取值范围是(－∞，1)．•[例6]函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系下的大致图象是•()•[答案]C•[解析]f(x)的图象过点(1,1)，g(x)的图象过点(0,2)，只有C符合，故选C.2．幂指对函数的性质是本章的主体内容，要结合图象对比掌握[例1]求函数y＝(1－log2x)－32的定义域．[解析]要使函数y＝1(1－log2x)3有意义，应有1－log2x0.∴log2x1，∴0x2.•[例2]比较a2x2＋1与ax2＋2(a0，a≠1)的大小．•[解析](1)当a1时，•①若2x2＋1x2＋2，即x1或x－1，则a2x2＋1ax2＋2；•②若2x2＋1＝x2＋2，即x＝±1，则a2x2＋1＝ax2＋2；•③若2x2＋1x2＋2，即－1x1，则a2x2＋1ax2＋2.•(2)当0a1时，•①若2x2＋1x2＋2，即x1或x－1，则a2x2＋1ax2＋2；•②若2x2＋1＝x2＋2，即x＝±1，则a2x2＋1＝ax2＋2；•③若2x2＋1x2＋2，即－1x1，则a2x2＋1ax2＋2.•[例3](2010·广东理，3)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则•()•A．f(x)与g(x)均为偶函数•B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数•C．f(x)与g(x)均为奇函数•D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数•[答案]B•[解析]∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，而g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．•[答案]D•[解析]∵2x0，∴2x－1－1•又2x－1≠0，∴2x－1∈(－1,0)∪(0，＋∞)，•∴y∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故选D.[例4]函数y＝12x－1的值域是()A．(－∞，－1)B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)•[例5]设函数f(x)＝|log3x|，若f(a)f(2)，求a的取值范围．[解析]∵f(x)＝|log3x|，f(a)f(2)，∴|log3a||log32|＝log32，∴log3alog32或log3a－log32，∴a2或0a12.•三、注重数学思想方法的掌握•1．函数与方程的思想．•[例1]已知关于x的方程2a2x－2－7ax－1＋3＝0有一个根是2，求a的值和方程其余的根．•[分析]本题给出的的方程有两个变量x、a，要使之有确定的值必须附加一个条件，题中的条件“有一个根为2”正是依据这种需要给出的．因此将x＝2代入方程消去x，得到一个关于a的一元二次方程，是解题的基本途径；此外，对于解指数方程，如果习惯于用换元法，令ax－1＝y，同样可得到一个关于y的一元二次方程，但须注意，由于表达y的代数式有两个变量，仍需运用条件“x＝2”才能确定a的值．同时，因为本题的一元二次方程有两个不同的实数根，故必须由a或y的不同值分别求出x的另一个值．[解析]∵2是关于x的方程2a2x－2－7ax－1＋3＝0的根，把x＝2代入方程中得，2a2－7a＋3＝0，解得a＝12或a＝3.(1)当a＝12时，解关于(12)x－1的方程2[(12)x－1]2－7×(12)x－1＋3＝0得，(12)x－1＝12或(12)x－1＝3，从而有两根x1＝2，x2＝1＋log123.(2)当a＝3时，解关于3x－1的方程2(3x－1)2－7×3x－1＋3＝0得，3x－1＝12或3x－1＝3，从而有两根x1＝1－log32，x2＝2.•2．分类讨论的思想•[例2]设x＝loga(a3＋1)，y＝loga(a2＋1)，a0，且a≠1，则x，y的大小关系是•()•A．xyB．xy•C．x＝yD．与a有关•[解析]∵(a3＋1)－(a2＋1)＝a2(a－1)，•∴a1时，a3＋1a2＋1，从而xy；•0a1时，a3＋1a2＋1，从而xy，综上可知xy，•故选A.[例3]若loga231，则a的取值范围是()A.23，1B.23，＋∞C.0，23∪(1，＋∞)D.0，23∪23，＋∞[解析]当a1时，loga230满足，当0a1时，loga23logaa，解得0a23.故选C.[点评]对数函数y＝logax的单调性是按a1与0a1分类定义的．•[例4]函数y＝a2x＋2ax－1(a0且a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，求a的值．[解析]令ax＝t，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.(1)当a1时，因为－1≤x≤1，所以1a≤ax≤a.即1a≤t≤a，因为函数y＝(t＋1)2－2在[1a，a]上单调递增．所以当t＝a时，y有最大值为(a＋1)2－2，所以(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(不符题意，舍去)，所以a＝3；(2)当0a1时，因为－1≤x≤1，即a≤t≤1a.∵函数y＝(t＋1)2－2在[a，1a]上单调递增．所以当t＝1a时，y有最大值为(1a＋1)2－2，所以(1a＋1)2－2＝14，解得a＝13或a＝－15(不符题意，舍去)，所以a＝13，由(1)(2)可得a＝3或a＝13.•3．转化与化归的思想•[例5]关于x的方程4x－2x＋a＝0有解，求a的取值范围．•[分析]设t＝2x，则问题可变为讨论一元二次方程t2－t＋a＝0在区间(0，＋∞)上有解的问题，讨论较为繁琐，可以把问题转换成a＝－t2＋t在(0，＋∞)上有解，进一步把问题转换成求函数y＝－t2＋t在(0，＋∞)上的值域．[解析]设2x＝t方程变为t2－t＋a＝0因此原方程有解等价于方程t2－t＋a＝0有正根，等价于a属于函数y＝－t2＋t，t∈(0，＋∞)的值域．∵y＝－t2＋t＝－(t－12)2＋14∈(－∞，14]∴a的取值范围是(－∞，14]．[例6]求函数y＝2log212x－log12x2＋1(14≤x≤4)的值域．[解析]令log12x＝u，∵14≤x≤4，∴－2≤u≤2，函数变为y＝2u2－2u＋1＝2(u－12)2＋12(－2≤u≤2)．∴当u＝12时，ymin＝12；当u＝－2时，ymax＝13.由u＝12得，x＝22，由u＝－2得，x＝4.∴在x＝22时，函数取最小值12，在x＝4时，函数取最大值13，值域为[12，13]．[点评]本题中通过u＝log12x进行换元，把较复杂的函数求值域问题，转化为较简单的基本函数(二次函数)求值域问题．