概率论与数理统计(南理工)

概率与统计第七讲二维随机变量（续）主讲教师：陈萍教授e-mail:[e-mail]主页四.二维连续型随机变量及其密度函数1、定义对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负函数f(x,y)，使对(x,y)R2，其分布函数xydudvvufyxF,),(),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为(X,Y)～f(x,y)，(x,y)R22、联合密度f(x,y)的性质(p41)(1)非负性：f(x,y)0,(x,y)R2;(2)归一性：);,(),(2yxfyxyxF反之，具有以上两个性质的二元函数f(x,y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。此外，f(x,y)还有下述性质(3)若f(x,y)在(x,y)R2处连续，则有(,)1;fxydxdy－－GdxdyyxfGYXP.),(}),{((4)对于任意平面区域GR2,设othersyxyxfYX010,101),(~),(求:P{XY}211}{010xdydxYXP11xy求：(1)常数A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2x+3y6内的概率。其它,00,0,),(~),()32(yxAeyxfYXyx例1.3.设解(1)由归一性6A101032)32()1)(1(6)1,1()2(eedxdyeFyx11－－-(2x+3y)00f(x,y)dxdy=Aedxdy=1(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2x+3y6内的概率。解dxdyeDYXPDyx)32(6}),{(303220)32(6dyedxxyx671e3.两个常用的二维连续型分布(1)二维均匀分布*若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。其它，的面积,0),(1),(2RDyxDyxfDGSSGYXP}},{(易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布，对D内任意区域G，有例1.4.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，(1)求(X,Y)的概率密度；(2)求P{Y2X}；(3)求F(0.5,0.5)1DSothersDyxyxf0),(1),()1(解:4112121GS4121121HS}2{)2(XYP)5.0,5.0()3(F}2{XYGH}5.0,5.0{YXH4114141其中，1、2为实数，10、20、||1，则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布，可记为),,,,(~),(222121NYX(2)二维正态分布若二维随机变量(X,Y)的密度函数为,e121)y,x(f])y()y)(x(2)x([)1(212212222212121212定义.n维随机变量(X1,X2,...Xn)，如果存在非负的n元函数f(x1,x2,...xn)使分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。事实上，对n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，F(x1,x2,…,xn)＝P(X1x1,X2x2,…,Xnxn)称为的n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数，或随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布函数。nxnnxnduduuufxxF...),...(...),...,(1111定义.若(X1,X2,...Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,...Xn)为n维离散型的，称P{X1=x1,X2=x2,...Xn=xn},(x1,x2,...xn)∈Rn为n维随机变量(X1,X2,...Xn)的联合分布律。则称(X1,X2,...Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,...xn)为(X1,X2,...Xn)的概率密度。显然有,DnnndxdxxxfDXXP...),...,x(......1211nRD求：（1）P{X0},(2)P{X1},(3)P{Yy0}othersyxeyxfy00),(EX:随机变量（X，Y）的概率密度为xyD答:P{X0}=01101}1{edyedxXPxy000}{000000yydyedxyYPyxyy想一想已知(x,y)的分布函数F(x,y),能否确定随机变量X的分布函数?已知(x,y)的密度函数f(x,y),能否确定随机变量X的密度函数?同理,Y的边缘分布函数§2.边缘分布一、边缘分布函数设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),称随机变量X的分布函数为(X,Y)关于X的边缘分布函数；记作FX(x).XFxPXx,PXxY,Fx,YFyFy例2.1.已知(X,Y)的分布函数为10(,)100xyyyexexyFxyeyeyx其它求FX(x)与FY(y)。解:1010(),100xxXexexFxFxx其它其它10(),0yyYeyeyFyFy其它同理二、边缘分布律若随机变量X与Y的联合分布律为(X,Y)～P{X＝xi,Y＝yj}＝pij，i,j＝1,2,…则称随机变量X的分布律为(X,Y)关于X的边缘分布律；记作iipPXxjjijipPYyp同理,(X,Y)关于Y的边缘分布律ipijjPXxYyijjPXxYyijjp例2.2.已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。x\y1011/103/1003/103/10解：x\y10pi.11/103/1003/103/10p.j故关于X和Y的分布律分别为：X10Y10P2/53/5P2/53/52/53/52/53/5三、边缘密度函数同理，Y的边缘概率密度()(,)XXfxFxfxydydxyxfyfY),()(设(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,称随机变量X的概率密度为(X,Y)关于X的边缘概率密度；记作()Xfx(),(,)xXFxFxfuvdvdu由于设(X,Y)~N(1,2,12,22,),求证:X~N(1,12);Y~N(2,22).例2.3设(X,Y)的概率密度为othersxyxcyxf0),(2（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度解:(1)由归一性1021xxcdydx6cdyyxfxfX),()()2(100xorx10)(6622xxxdyxx设(X,Y)的概率密度为(1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.01,0(,)0cyxyxfxyothers20166301()066(1)01()0xXYycydyxxfxothersydxyyyfyothers答：§3随机变量的相互独立性定义称随机变量X与Y独立，如果对任意实数ab,cd，有p{aXb,cYd}=p{aXb}p{cYd}即事件{aXb}与事件{cYd}独立，则称随机变量X与Y独立。定理3.1：随机变量X与Y独立的充分必要条件是(p47),XYFxyFxFy定理3.2设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理3.3.设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=P{X=xi,Y=yj},i,j=1,2,...，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pij=Pi.Pj由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可EX：判断例1、例2、例3中的X与Y是否相互独立例3.1.已知随机变量(X,Y)的分布律为XY1200.150.151ab且知X与Y独立，求a、b的值。解:由归一性0.150.151ab0.7ab由独立性0.15(0.15)0.3a0.35,0.35ab例3.2.甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率。{15}PXY2216024515752GS21575{15}0.437560PXY解:设甲于8点零X分到达;乙于8点零Y分到达.2216060GGSdxdy设n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的分布函数为F(x1,x2,...,xn),(X1,X2,...,Xn)的k（1kn)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X1,X2,…Xk)的边缘分布函数是FX1,…,Xk（x1,...,xk)=F(x1,…,xk,,,...,)若Xk的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,)()....()(),...(21121nXXXnxFxFxFxxFnn维随机变量的边缘分布与独立性则称X1,X2,...Xn相互独立，或称(X1,X2,...Xn)是独立的若对任意整数i1,i2,…,in及实数,有则称离散型随机变量X1,X2,…,Xn相互独立。niii,...,x,xx21}{}{1111nnnniiiiiiiixX...PxXP}x,...,XxP{X对于离散型随机变量，设n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的分布律为P(X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn),则(X1,X2,...,Xn)的k（1kn)维边缘分布律就随之确定，如关于(X1,X2,…Xk）的边缘分布律是111111111,...,...,...,,,...,knknkkkkkjnjjjPXxXxPXxXxXxXx若Xk的边缘密度函数为fXk(xk),k=1,2,…,n,对任意的(x1,x2,…,xn)Rn，f(x1,x2,…,xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)则称X1，X2，…，Xn相互独立。对于连续型随机变量,设n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的密度函数为f(x1,x2,...,xn),(X1,X2,...,Xn)的k（1kn)维边缘密度函数就随之确定，如关于(X1,X2,…Xk)的边缘密度函数是1,...1111,...,...,...,,,......kXXkkknknfxxfxxxxdxdx设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为FX(x1,x2,...xn)；m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)的分布函数为FY(y1,y2,…ym),X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym组成的n+m维随机变量（X1,X2,...Xn,Y1,Y2,…Ym)的分布函数为F(x1,x2,...xn,y1,y2,…ym).如果F(x1,x2,...xn,y1,y2,…ym)=FX(x1,x2,...xn)FY(y1,y2,…ym)则称n维随机变量(X1,X2,...Xn)与m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)独立。定理3.4设(X1,,X2,…,Xn)与(Y1,Y2,…，Ym)相互