8概率论与数理统计(南理工)

1概率与统计第八讲条件分布;两个随机变量函数的分布主讲教师：陈萍教授e-mail:[e-mail]主页设随机变量X与Y的联合分布律为X和Y的边缘分布律分别为§4条件分布(了解)一离散型随机变量的条件分布律,...2,1,,...;2,1,jpipji,...2,1,},,{~),(jiyYxXPpYXjiij为Y＝yj的条件下，X的条件分布律;(p49).{|},1,2,...ijijjpPXxYyip＝若对固定的j,p.j0,则称同理，对固定的i,pi.0,X＝xi的条件下，Y的条件分布律为.{|},1,2,...ijjiipPYyXxjp＝3例4.1设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分布，又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫产卵数X与下一代只数Y的联合分布律.解:已知,...1,0,!50}{)50(~50kekkXPPXk由题意,在X=k的条件下,)8.0,(~kBYklCkXlYPlkllk,...,1,0,2.08.0}|{由乘法公式,X与Y的联合分布律为klkCekkXPkXlYPlYkXPlkllkk,...,0,...;1,0,2.08.0!50}{}|{},{504二连续型随机变量的条件概率密度定义.给定y，设对任意固定的正数0，极限00lim{|}{,}lim{}PXxyYyPXxyYyPyYy存在，则称此极限为在Y=y条件下X的条件分布函数.记作|(|){|}XYFxyPXxYy可证当时0)(yfy|(,)(|)()xXYYfuyduFxyfy(2.6.3)5若记为在Y=y条件下X的条件概率密度，则由(2.6.3)知,当时，.)|(|yxfYX0)(yfY)(),()|()|(||yfyxfxyxFyxfYYXYX类似定义，当时0)(xfX||(|)(,)(|)()YXYXXFyxfxyfyxyfx||baPaYbXxfyxdy6例4.2设，在给定条件下，随机变量24|14121PYX~(0,1)XNXx~(,1)YNx，(1)求24|1PYX(2)求X与Y的联合概率密度。解（1）2310.9987(2)222211,|22yxxXYfxyfxfyxee2222212xyxye7§5两个随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分布律例5.1设二维随机变量(X,Y)的分布律为XY1212311p12p13p21p22p23p求Z=X+Y的分布律.解:Z=X+Y的全部可能取值为(2,3,4,5),其分布律为Z2345Zp11p)(2112pp)(2213pp23p8一般地,设二维离散型随机变量（X，Y），(X,Y)～P(X＝xi,Y＝yj)＝pij，i,j＝1,2,…则Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,k＝1,2,…kjizyxgkiijp),(:,(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pijp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或9二、多个随机变量函数的密度函数1、一般的方法：分布函数法若(X1,X2,…,Xn)~f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)Rn,Y=g(X1,X2,…,Xn),则可先求Y的分布函数:}y)X,...,X(g{P}yY{P)y(Fn1Y;...),...,(...11),...,(1nnyxxgdxdxxxfn.dy)y(dF)y(F)y(fYYY然后再求出Y的密度函数:102、几个常用函数的密度函数(1)和的分布已知(X,Y)～f(x,y),(x,y)R2,求Z＝X＋Y的密度。zx+y=zx+yzZFzPXYz,,zyzxdxfxydydyfxydx或,,ZZfzFzfxzxdxfzyydy或11例5.2设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。证:由题意，随机变量X与Y的概率密度分别为：,21)(22xXexf2221)(yYeyf随机变量Z=X+Y的概率密度为：dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx2)(2222121dxexxzzx)2222(2121dxeezxz22)2(421.2142ze即Z=X+Y服从N（0，2）分布.12一般地，设随机变量X1,X2，...,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,...,n,则),(~21211iniiniiiniiiaaNXaEX.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.1322111,2,...,~(50,2.5),~(50,2.5)20000.052000500.952.52000501.645392.5iniiiniiXiiXNXNnnPXnnnnn解：设最多装n袋水泥；第袋水泥的重量，则令即查表得14(2)最大(小)值的分布设X1,X2,…,Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)，记M＝max{X1,X2,…,Xn},N＝min{X1,X2,…,Xn}求,M和N的分布函数1max(,...,)MnFzPXXz1,...,nPXzXz12()()...()nFzFzFz151()1[1()].nNiiFzFz1min(,...,)NnFzPXXz11,...,nPXzXz1211()1()...1()nFzFzFz11min(,...,)nPXXz1()nMiiFzFz16多维随机变量分布函数函数的分布离散型——分布律归一性概率计算归一性概率计算连续型——概率密度归一性•概率计算•·分布函数与概率密度的互变边缘分布律边缘分布函数独立性边缘概率密度均匀分布正态分布第三章小结171.(X,Y)的分布函数为求：(1)参数a,b(2)(3)X与Y的联合概率密度.其它b0y0,x)e)(1ea(1y)F(x,y2x{1,1}PXY解182.同时掷两颗骰子，以X表示其中小的点数，以Y表示其中大的点数.求二维随机变量(X,Y)的分布律.并求P{Y4}3.随机变量X与Y的联合概率密度为(1)求(2)判断X与Y是否独立.othersyyxyyxf010,03),(}21{};21{};1{YPXPYXP解解194．随机变量X与Y独立且均服从正态分布，求)σN(0,20)(aa},YXP{225.有一矩形目标，长边长为20，短边长为10.火炮向该矩形目标射击，射向垂直于长边.瞄准点是长边中心.以目标中心为原点，射向为x轴方向，建立坐标系，弹着点坐标为(X,Y),且设X与Y独立，又设,,,求命中目标的概率.)5,20N(~X2)N(0,10~Y2解解201.解limxyb2xy++F(+,+)a(1e)(1e)=a=1F(-,-)=0111{1,1}{1,1}1,,11,1,0PXYPXYFFFF221e(1e)(1e)-0=e(1e)2,Fxyxy2x-y2ex0,y0f(x,y)0其它212.解X\Y12345611/362/362/362/362/362/36201/362/362/362/362/363001/362/362/362/3640001/362/362/36500001/362/366000001/3654569PYPYPY223.(1)10.51110.510.505{1}3815{}321617{}328yyxyPXYdyydxPXdxydyPYdyydx11(2)123310120Xxydyxxfx其它2Y033010yydxyyfy其它(3),XYfxyfxfy故X与Y不独立。234．解222212xyedxdy2222XYaP{XYa}=222221,2xyXYfxyfxfye令cos,sinxryr22222222222200211221xyraaedxdyderdre22XYa245.解)5,20N(~X2)N(0,10~Y255,101055101055551010202010100.1307PXYPXPYxy551010