因式分解培优专题(一)

博学且深思涵养而精进1/4初三数学因式分解培优专题（一）一、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1.把下列各式因式分解（1）axabxacxaxmmmm2213（2）aababaabba()()()32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。解：（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，()()()()abbaabbannnn222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。解：2.利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。解：3.在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23532xyxy，求代数式()()()22332xyxyxxy的值。分析：不要求解方程组，我们可以把2xy和53xy看成整体，它们的值分别是3和2，观察代数式，发现每一项都含有2xy，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2xy和53xy的式子，即可求出结果。解：4.在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n，323222nnnn一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。解：5、中考点拨：例1。因式分解322xxx()()解：说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。例2．分解因式：412132qpp()()解：说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。举一反三：1、分解因式：博学且深思涵养而精进2/4（1）41222332mnmnmn（2）axabxacxadxnnnn2211（n为正整数）（3）aababaabba()()()3222222.计算：()()221110的结果是（）A.2100B.210C.2D.13.已知x、y都是正整数，且xxyyyx()()12，求x、y。4.证明：812797913能被45整除。二、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式ababab22()()完全平方公式aabbab2222()立方和、立方差公式ababaabb3322()()补充：欧拉公式：abcabcabcabcabbcca3332223()()12222()[()()()]abcabbcca特别地：（1）当abc0时，有abcabc3333（2）当c0时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1.把aabb2222分解因式的结果是（）A.()()()abab22B.()()abab2C.()()abab2D.()()abba2222分析：aabbaabbab22222222212111()()。再利用平方差公式进行分解，最后得到()()abab2，故选择B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232xxm有一个因式是21x，求m的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m的值。解：3.在几何题中的应用。例：已知abc、、是ABC的三条边，且满足abcabbcac2220，试判断ABC的形状。分析：因为题中有abab22、、，考虑到要用完全平方公式，首先要把ab转成2ab。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。解：4.在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：博学且深思涵养而精进3/45、中考点拨：例1：因式分解：xxy324______________________。说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例2：分解因式：2883223xyxyxy______________________。说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：例1.已知：ambmcm121122123，，，求aabbaccbc222222的值。解：说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。例2.已知abcabc00333，，求证：abc5550证明：说明：利用补充公式确定abc，，的值，命题得证。例3.若xyxxyy3322279，，求xy22的值。解：说明：按常规需求出xy，的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。举一反三：1.分解因式：（1）()()aa23122（2）xxyxyx5222()()（3）axyaxyxy22342()()()2.已知：xx13，求xx441的值。3.若abc，，是三角形的三条边，求证：abcbc222204.已知：210，求2001的值。5.已知abc，，是不全相等的实数，且abcabcabc03333，，试求（1）abc的值；（2）abcbcacab()()()111111的值。博学且深思涵养而精进4/4因式分解练习题1、若16)3(22xmx是完全平方式，则m=_________。2、_____))(2(2(_____)2xxxx3、已知,01200520042xxxx则.________2006x4、若25)(162Mba是完全平方式M=_______。22)3(__6xxx22)3(9___xx，5、若229ykx是完全平方式，则k=_______。6、若442xx的值为0，则51232xx的值是____________。7、若)15)(1(152xxaxx则a=____________。8、若6,422yxyx则xy_______________。9、方程042xx，的解是____________________。二、选择题：（10分）1、多项式))(())((xbxaabbxxaa的公因式是（）A、－a、B、))((bxxaaC、)(xaaD、)(axa2、若22)32(9xkxmx，则m，k的值分别是（）A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、3、下列名式4422222222,)()(,,,yxyxyxyxyx中能用平方差公式分解因式的有（）A、1个，B、2个，C、3个，D、4个4、计算)1011)(911()311)(211(2232的值是（）A、21B、2011.,101.,201DC三、分解因式：（30分）1、234352xxx2、2633xx3、22)2(4)2(25xyyx4、22414yxyx5、xx56、13x7、3ax2+6axy+3ay28、811824xx9、24369yx四、代数式求值（15分）1、已知312yx，2xy，求43342yxyx的值。2、若x、y互为相反数，且4)1()2(22yx，求x、y的值3、已知2ba，求)(8)(22222baba的值五、计算：（15）（1）0.7566.24366.3（2）200020012121（3）2244222568562六、试说明：对于任意自然数n，22)5()7(nn都能被动24整除。