2016届高考数学一轮总复习-10.7离散型随机变量及其分布列课件.

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布(理)概率(文)第七节离散型随机变量及其分布列(理)基础回扣·自主学习热点命题·深度剖析特色专题·感悟提高高考明方向1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．备考知考情1.古典概型以及互斥事件的概率是解决离散型随机变量及其分布列的基础，有时还会与期望、方差结合在一起考查．2.多以解答题的形式出现，偶尔也会在选择题、填空题中出现.理教材夯基础厚积薄发J基础回扣·自主学习知识梳理知识点一离散型随机变量分布列的概念如果随机试验的结果可以用一个来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做.变量离散型随机变量知识点二离散型随机变量的分布列及性质1.一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的，简称为X的有时为了表达简单，也用等式表示X的分布列．概率分布列分布列．P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n2．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)i＝1npi＝1.知识点三常见的离散型随机变量的分布列1.两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01P1－pp，其中p＝称为成功概率．P(X＝1)2．超几何分布列：在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝，且，则称分布列为超几何分布列．X01…mPC0M·Cn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnNmin{M，n}n≤N，M≤N，n，M，N∈N*对点自测知识点一离散型随机变量分布列的概念1.以下关于离散型随机变量的说法正确的是()①随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个；②离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出；③离散型随机变量的分布列中pi0(i＝1,2，…，n)；④离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．A．①②B．②③C．①④D．③④解析①根据随机试验的条件可知正确．②离散型随机变量的所有取值可以一一列出，故②错．③离散型随机变量的分布列中pi≥0(i＝1,2,3，…，n)，故③错．④由离散型随机变量的分布列的性质可知④正确．答案C2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是()A．X＝4B．X＝5C．X＝6D．X≤5解析由条件知“放回5个红球”事件对应的X为6.答案C知识点二离散型随机变量的分布列及性质3.若离散型随机变量X的分布列为X01Pa2a22，则P(X＝1)＝________.解析由a2＋a22＝1，得a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍)．答案所以P(x＝1)＝a22＝12.4．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数X的分布列为________．解析X的所有可能值为0,1,2.P(X＝0)＝C11C11C12C12＝14，P(X＝1)＝C11C11×2C12C12＝12，P(X＝2)＝C11C11C12C12＝14.∴X的分布列为X012P141214答案X012P141214知识点三常见的离散型随机变量的分布列5.判一判(1)如果随机变量X的分布列由下表给出：X25P0.30.7则它服从二点分布．()(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()答案(1)×(2)√6．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，随机变量X的概率分布为：X012Pabc则a＝________，b＝________，c＝________.解析P(X＝0)＝1C25＝110；P(X＝1)＝C13C12C25＝35；P(X＝2)＝C23C25＝310.答案11035310研考点知规律通法悟道R热点命题·深度剖析问题探究问题1怎样正确理解随机变量？(1)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．(2)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．问题2若ξ是随机变量，那么aξ＋b(a，b∈R)是否是随机变量？(1)随机变量ξ的线性组合η＝aξ＋b(a，b∈R)是随机变量．(2)求η＝aξ＋b的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．求分布列中参数的值时应保证每个概率值均为非负数．问题3求离散型随机变量有哪些常见的方法？(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．高频考点考点一离散型随机变量的分布列的性质【例1】设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．听课记录由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个分布列为：(1)2X＋1的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列：|X－1|0123P0.10.30.30.3【规律方法】①利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．②若X是随机变量，则2X＋1，|X－1|等仍然是随机变量，求它们的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．变式思考1(1)随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________.(2)设随机变量Y的分布列为：Y－123P14m14则事件“Y≤12”和“32≤Y≤72”的概率为________．解析(1)2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，∴b＝13，a＋c＝23.(2)∵14＋m＋14＝1，∴m＝12.∴PY≤12＝P(Y＝－1)＝14，P32≤Y≤72＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝34.答案(1)23(2)14和34考点二求离散型随机变量的分布列【例2】(2014·江苏卷)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P.(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数．求X的概率分布和数学期望E(X)．听课记录(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝C24＋C23＋C22C29＝6＋3＋136＝518.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝C44C49＝1126；{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝C34C15＋C33C16C49＝20＋6126＝1363；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X的概率分布如下表：X234P111413631126因此随机变量X的数学期望E(X)＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.【规律方法】求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．变式思考2(2015·温州模拟)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束．(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率；(2)记试验次数为X，求X的分布列．解(1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A，则P(A)＝C12C16C28＝37.(2)由题知X的可能取值为1,2,3,4.则P(X＝1)＝C12C16＋C22C28＝1328，P(X＝2)＝C26C14C12＋C22C28C26＝928，P(X＝3)＝C26C24C12C12＋C22C28C26C24＝58，P(X＝4)＝C26·C24·C22C28C26C24＝128.X的分布列为X1234P1328928528128考点三超几何分布【例3】(2014·天津卷)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．听课记录(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝C13·C27＋C03·C37C310＝4960.所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k6C310(k＝0,1,2,3)．所以，随机变量X的分布列是X0123P1612310130随机变量X的数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.【规律方法】超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．变式思考3PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2014年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．解(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13·C27C310＝2140.(2)根据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，ξ的可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝k)＝Ck3C3－k7C310(k＝0,1,2,3)，其分布列为ξ0123P72421407401120拓思维提能力启智培优T特色专题·感悟提高数学思想系列之(十三)分类讨论思想在分布列中的应用【典例】在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x