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固体理论固体理论——电子声子相互作用电子声子相互作用主讲翦知渐固体理论-电子声子相互作用-物理图像第五章电子声子相互作用第五章电子声子相互作用电子与晶格的基本相互作用形式§1物理图像电子与晶格的基本相互作用形式§1物理图像§2电子与声频支声子的相互作用子与声频支声子的相作用§3声子的自能修正§4电子与光频支声子的相互作用§5有效电子-声子相互作用固体理论-电子声子相互作用-物理图像§1物理图像返回能带论：考虑晶格周期性势场对电子的作用（即原子或离子位置固定的情形）——周期性势场对电子运动的调制考虑晶格振动时，原子（离子）偏离平衡位置，引起势能的改变。能带电子将受到晶格位移所产生附加势场的作用，这就是电子和晶格振动的相互作用——电子-声子相互作用，可看做准粒子的碰撞其特点：碰撞过程中粒子数不守恒；存在虚声子过程就是电子和晶格振动的相互作用其特点：碰撞过程中粒子数不守恒；存在虚声子过程在能带极值附近，电子的能量为：22k=导带22c2kkmεε=+=导带εc其中ε是带边能量可理解为能带电子价带c其中εc是带边能量，可理解为能带电子的势能，是晶格周期势对电子的作用由于纵声学模（声子）伴随晶体体积和晶格常由于纵声学模（LA声子）伴随晶体体积和晶格常数的局域变化，因此，εc将发生移动固体理论-电子声子相互作用-物理图像而电子-声子相互作用的形变势可写为返回其中∆(r)为（相对）形变量c为形变势常数由实验确定其中∆(r)为（相对）形变量，c1为形变势常数，由实验确定单位体积形变后膨胀为所以体积的相对变化为根据声子声学模的长波方法，有所以对于长波LA声子体积相对变化为所以，对于长波LA声子，体积相对变化为其中，只有纵波对体积变化有贡献：eq·q而对横波指标σ的求和为0故电子-声子互作用的二次量子化形式可表示为单体势对态向量的均固体理论-电子声子相互作用-物理图像返回量的平均：代表湮灭一个k电子和一个q声子，产生一个k+q电子代表湮灭一个k电子，产生一个q声子和一个k-q电子q当k在费米球外，k-q在费米球内时，也可代表如下过程固体理论-电子声子相互作用-物理图像返回箭头向上代表电子，箭头向下代表空穴这几个过程是电子-声子相互作用的一级微扰过程，可用于解释晶体的输运特性箭头向上代表电子，箭头向下代表空穴电子-声子互作用的高阶微扰过程由上述基本过程组成二级微扰的物理过程：固体理论-电子声子相互作用-物理图像返回（）先发射然后吸收声子物理实质是电子带着晶格（a）先发射，然后吸收q声子——物理实质是电子带着晶格畸变运动，对电子自能产生修正（b）产生电子空穴对然后再复合放出声子代表电子（b）产生电子-空穴对，然后再复合放出声子——代表电子系统对声子扰动场的屏蔽，它会改变离子间的互作用势，从而对声子频率产生修正（c）两个电子通过声子的间接互作用，在一定条件下将成为电子之间的有效吸引势，它是产生超导电性的主要机制固体理论-电子声子相互作用-电子与声频支声子的相互作用§2电子与声频支声子的相互作用返回形变势模型是电子与声子互作用的连续模型，更严格的推导应当从晶格模型出发。对于简单晶格只有声频支振动晶格模型：设l格点离子与j电子(rj)之间的相互作用势能为V(rj-l)，所以无晶格振动时，电子-离子相互作用为0()HVl∑∑llR设晶格振动位移为ul(t)，此时电子-离子互作用为0,()eijliijliHVl=−≡=∑∑rllRa故电子-声子相互作用为：故电子-声子相互作用为：其中定义了电-声互作用的单体势若采用布洛赫函数固体理论-电子声子相互作用-电子与声频支声子的相互作用返回作为电子体系二次量子化态向量的基函数（非平面波），则态向量为其中Ck+，Ck是能带电子的产生湮灭算符，满足对易关系：向量为其中Ck，Ck是能带电子的产生湮灭算符，满足对易关系：则电声互作用可表示为进一步，可利用其中是偏振方向的单位矢量则电声互作用的二次量子化形式可化为固体理论-电子声子相互作用-电子与声频支声子的相互作用返回其中N为元胞数，M为原子质量，s为格波的偏振指标现在考虑布洛赫函数的积分现在考虑布洛赫函数的积分其中作了代换r→r+l并且利用了布洛赫函数的性质：u(r+l)=u(r)并且利用了布洛赫函数的性质：uk(r+l)=uk(r)作离子势的傅里叶展开可得可得因此有固体理论-电子声子相互作用-电子与声频支声子的相互作用返回为简单起见，用平面波代替布洛赫函数，取得到晶格模型中电子-声子互作用的哈密顿其中利用了其中利用了i|e⋅=krkK为倒格矢Kn为倒格矢所以可得到波矢条件波矢条件固体理论-电子声子相互作用-电子与声频支声子的相互作用返回实际上就是动量守恒条件，但与通常的动量守恒有区别，其中存在选取Kn的不确定性怎样选取K？当采用简约区方案时K的选取应保证散射后的怎样选取Kn？当采用简约区方案时，Kn的选取应保证散射后的电子态k'也在第一布里渊区内，k'=k+q+Kn——因为k+q可能超出BZ因为k+q可能超出BZ1选取Kn的讨论(1)k+q位于BZ内(1)kq位于BZ内取Kn=0，则有k'=k+q此时总波矢守恒，称为正常散射或简称N过程长波近似下，有LA与TA声子：eqs平行或垂直于q而只有LA声子对N过程有贡献，因为因子eqs·q的存在使得横波声子的贡献为0波声子的贡献为0此时其中对于金属，可采用集体坐标表示电子离子作用势采用库仑势固体理论-电子声子相互作用-电子与声频支声子的相互作用返回电子离子互作用势采用库仑势利用声子简正坐标和电子集体坐标此式可用于计算电声作用可得此式可用于计算电声作用对声子频率的修正(2)k+q超出BZBZ边界(2)k+q超出BZk+q一般在邻近布里渊区内，此时需要取Kn≠0，使得k'=k+此时需要取n≠使得q+Kn回到BZ内，因此总波矢守恒条件相差一个倒格矢因eqT·Kn≠0，此时TA（横波）声子也有贡献由于从k到k'为大角度散射，显然散射前后电子速度发生了大角度偏转故称的过程为倒逆过程或过程固体理论-电子声子相互作用-电子与声频支声子的相互作用返回度偏转，故称Kn≠0的过程为倒逆过程或U过程注意到，采用BZ并未改变物理实质从下图可以看出速度(k')与(k+q)是相同的从下图可以看出，速度v(k')与v(k+q)是相同的U过程主要在高温q较大时存在，对金属的高温特性有重要影响程要在高q较大时存在对属的高特性有要影响2电子-声子互作用过程的守恒定律(1)准动量守恒：ħk'=ħ(k+q+Kn)()(qn)若忽略晶格周期性，则相当于晶格常数a→0，因此倒格矢b这是由于晶格结构的周期性和不连续性形成的→∞，BZ趋于无穷大——自然k+q不会超出BZ，所以此时动量严格守恒：Kn=0固体理论-电子声子相互作用-电子与声频支声子的相互作用(2)能量守恒：对于实过程（可观测的）能量是守恒的返回电声系统从初态|i跃迁到终态|f,其几率为（含时微扰论）其中什么样的过程是可观测的？只有能够确定电子的初终态能量变化ΔE=|εk'–εk|时，这一跃迁才是可能的，即所谓实过程——按照测其中ΔE|εkεk|时，这跃迁才是可能的，即所谓实过程按照测不准关系应要求tħ/ΔE，而此时跃迁几率可以写成δ函数t昀大为弛豫时间τ（相继两次散射的平均间隔时间），所以当τħ/∆E时才是实过程。从几率的δ函数表达式可得能量守恒τħ/∆E时才是实过程。从几率的δ函数表达式可得能量守恒这个条件对N过程与U过程一样，因为在同一个能带中有对于虚过程（不可观测的或t很小），则能量可能不守恒固体理论-电子声子相互作用-声子的自能修正§3声子的自能修正返回考虑单价金属设个离子组成简单晶格浸没在均匀电子气中电子系统对声子扰动场的屏蔽，将改变离子间的互作用势，从而对声子频率产生修正考虑单价金属，设N个离子组成简单晶格浸没在均匀电子气中与电子集体振荡相似，无微扰的声子振动频率在长波范围内，可用离子的等离子体集体振荡频率表示可用离子的等离子体集体振荡频率表示设晶体取单位体积，为元胞体积，则N=Ω-1LA声子的哈密顿量为上节得到了集体坐标表示的电子与声子互作用为其中上节得到了集体坐标表示的电子与声子互作用为总哈密顿为后两项与声子无关固体理论-电子声子相互作用-声子的自能修正根据海森堡方程与对易关系返回所以找到ρq与Qq的关系，即可求出频率修正可得运动方程晶格振动（用Qq描述）必然产生离子密度的起伏（用ρqi的傅里叶分量描述），这个起伏的效果相当于对电子气体加上一所以找到ρq与Qq的关系即可求出频率修正个外扰动场，扰动导致电子气体的响应运动，从而引起电子密度起伏（用ρq描述）1离子密度起伏ρqi晶格振动产生极化而离子密度起伏为展开为傅里叶级数所以有此处ρi是极化电荷密度，而总电荷密度为0所以有2ρq与ρqi的关系固体理论-电子声子相互作用-声子的自能修正返回由于离子运动比电子运动慢得多，因此，可将离子运动产生的ρqi当作“静态试探电荷”，用线性响应理论处理的傅叶分量为ρ(r)是电子密度起伏而D，E的傅里叶分量为()()()()()()()iqqeeε⋅⋅===∑∑qriqrDrDqErEqDqqEq，，qq由以上方程可以求出即1/2224i()qqNeMπ⎛⎞=⋅⎜⎟⎝⎠eq2qqqqqQQMΩρ−+=−即因此，运动方程的右半边为22()41()1()Neq1/2()()iqqqNiQMρ=−⋅eq2()qqMq⎜⎟⎝⎠q222()41()1()()()qqqqqqNeMQQMqπεερΩεε−⋅−−=⋅⋅=eqqqqq固体理论-电子声子相互作用-声子的自能修正所以，考虑了电子气的屏蔽之后，LA声子的运动方程为返回而声子频率为如果取托马斯-费米介电函数声子频率为则长波范围内则长波范围内故可得到长波LA声子色散关系：其中ħk/是费米速度这就是著名的玻母-司台夫(Bohm-Staver)声速公式其中vF=ħkF/m是费米速度固体理论-电子声子相互作用-电子与光频支声子的相互作用§4电子与光频支声子的相互作用返回离子晶体中的光频支声子，其纵振动会产生极化电场极化电场使得LO声子频率高于TO声子极化电场将与离体中的传导电产生的耦合作用极化电场还将与离子晶体中的传导电子产生强烈的耦合作用，耦合作用比LA声子对传导电子的作用强得多因此主要是LO声子与传导电子的相互作用对离子晶体的载流因此主要是LO声子与传导电子的相互作用对离子晶体的载流子特性产生影响1长波近似LO声子的位移可写为其中M为折合质量其中为折质式中还忽略了频率ωL对q的依赖关系，近似地取q=0的频率根据黄昆理论，纵振动位移W(r)=ρ1/2u(r)产生的电场为12224()()14πγπγ=−+ErWr固体理论-电子声子相互作用-电子与光频支声子的相互作用设晶体的体积V=NΩ=1，那么1/2()(){()()}NMW返回1/2ii()(){()()}()2qqqNMaeaeρ+−+−⋅+−⋅=−=−=+∑qrqrWruuurure=()2qqqqLω∑LO声子的极化电场可写为ii()4()rFaeaeπ⋅+−⋅=−+∑qrqrEe124()()πγ=−ErWr()4()qqqqrFaeaeπ=−+∑Ee其中（利用LST关系等）22()()14πγ=+ErWr若设电场的势为因为比较可知比较可知而电场的势为：而电场的势为：ii2()i4()qqqFaeaeqϕπ⋅+−⋅⋅=−−∑qqrqreqr固体理论-电子声子相互作用-电子与光频支声子的相互作用-eϕ(r)代表r处电子受LO声子作用的势能，即电子与LO声子的相互作用返回相互作用当uk(r)取自由电子近似时，对于N过程有2i4()epqkqkqkqkHeFaCCaCCπ++++⋅=−∑qeq电子在离子晶体中运动时会使正负离子产生相对位移形成介2,()epqkqkqkqkkqq+−∑2电子自能修正计算电子在离子晶体中运动时会使正负离子产生相对位移，形成介质的局域极化；由于极化伴随电子运动，因此在介质中将激发LO声子；而电子带着晶格极化运动，就象带着声子运动因此电子的基态能和有效质量也将发生改变（