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小升初常考的长方体和正方体学生姓名年级小五学科数学授课教师日期时段核心内容面积，体积，容积课型教学目标1、掌握正方体和长方体的特点；2、掌握表面积的应用；3、掌握体积单位及体积的应用；4、掌握排水法求体积的方法；重、难点实际应用【知识导图】【互动导学】【导学】一：长方体和正方体的认识【知识点1】：长方体和正方体的特征【例1】：正方体的展开图1、下列三个图形中，不能拼成正方体的是（）①②③2、右图是一个正方体的展开图。在这个正方体中，与面相对的是（）面，与面相对的是（），（）面与（）面是相对的面。3、下图中哪两个字所在的面，是正方体中相对的面？4.右图是正方体的一个平面展开图，将它折成正方体后，（1）1号面和（）号面相对；（2）2号面和（）号面相对；（3）3号面和（）号面相对。【例3】：长方体的展开图（1）这是一个长方体的展开图，前面的面积是（）平方厘米，右面的面积是（）平方厘米，上面的面积是（）厘米。dabcef后（2）右图是一个长方体的展开图，这个长方体上面的面是（），右面的面是（）。A、长4cm，宽2cmB、长4cm，宽1.5cmC、长2cm，宽1.5cmD、边长2cm（3）沿下图中的虚线折叠，可以围成一个长方体。围成的这个长方体的体积是多少立方厘米？【例题】4：一个正方体的6个面分别涂着红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，根据下面的三种摆法，判断哪种颜色的对面涂着哪种颜色。练习1：根据一个正方体的三种不同的摆法，判断出相对的两个面上的字母各是什么？【例题】5：一个装书的纸皮箱，长55厘米，宽35厘米，高20厘米，如果要用封口纸条把这箱书封扎好（如图），需用多长的封口纸条？（接头处不计）黄4红2蓝5黑4蓝白绿白红F4D2A5B64A2CECD【知识点2】：正方体的染色问题（1）三个面都染色：必定在顶点上；（2）两个面染色：必定在棱上；（3）一个面染色：必定在面上。【例题】1：一个棱长10厘米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。问：在这些小正方体中，（1）3个面涂有红色的有多少个？（2）2个面涂有红色的有多少个？（3）1个面涂有红色的有多少个？（4）6个面都没有涂色的有多少个？练习1：下图由9个棱长为1厘米的正方体搭成的，将这个立体图形表面涂上红色。其中只有三面涂上红色的正方体有（）个，只有四面涂上红色的正方体有（）个。【导学】二：长方体和正方体的表面积和体积【知识点1】：长方体和正方体的表面积和体积变化规律【例题】1：变化规律（1）一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的表面积就（），体积扩大（）倍。（2）一个正方体的棱长扩大2倍，则表面积就（），体积扩大（）倍。（3）大正方体棱长是小正方体棱长的2倍，大正方体表面积是小正方体表面积的（）倍。【知识点2】：长方体正方体的切割与拼接【例题】1：一个长方体底面是一个边长为20厘米的正方形，高为40厘米，如果把它的高增加5厘米，它的表面积会增加多少？练习1：有一个长方体，如果把高增加3cm后，就变成一个正方体，表面积就会增加96cm2。求这个长方体的体积。练习2：把一个长方体截去一个高为8厘米的长方形后，剩下的部分是一个正方体。正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米。求原来长方体的体积。练习3：一个长方体木块，从上部和下部分别增加高为3厘米和2厘米的长方体，变成一个正方体，表面积增加了360平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？【例题】2：把一根长80厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料锯成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了多少平方厘米。练习1:一个长方体正好可以切成5个同样大小的正方体，切成的５个正方体的表面积比原来长方表面积多了２００平方厘米，求原来长方体的表面积？【例题】3：把一个正方体木块锯成3个大小一样的小长方体后，表面积增加了36平方厘米。原来正方体的表面积是多少？练习1：把一个长方体和一个正方体拼成一个新的长方体，这个新长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了80平方厘米，求正方体的表面积。练习2：用两个棱长是3厘米的正方体，拼成一个长方体，它的表面积比两个正方体的表面积少多少平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米。练习3：把一根长2米的方木(底面是正方形)锯成三段，表面积增加5.67平方分米，原来这根方木的体积是多少立方分米？【例题】4：把棱长12厘米的正方体切割成棱长是3厘米的小正方体，可以切割成多少块？练习1：一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的小正方体，表面积增加了多少平方厘米？练习2：有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成相等的8个小正方体，表面积增加多少平方米？【例题】5：把一个长为10分米，宽为6分米，高为8分米的长方形，切割成相等的两个长方体，有几种切法，那中增加的表面积最多？哪种增加的表面积最少？练习1：把两个相同的长方体拼成一个大的长方体，已知小长方体的长是8cm，宽是6cm，高是3cm。有几种拼法，分别求出拼成的大长方形的面积？练习2：用两个长6厘米，宽3厘米，高1厘米的长方体拼成一个表面积尽可能小的正方体，这个拼成的长方体的表面积是（）平方厘米。练习3：用4个棱长是3厘米的正方体，拼成一个长方体，有几种拼法，每种拼法长方体的表面积比四个正方体的表面积和减少了多少平方厘米。练习4：一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？【例题】6：练习如下图，一个正方体被切成12个大大小小的长方体，这些长方体表面积的总和是350平方厘米，求原来正方体的表面积和体积。练习1：一张长方形铁皮，长25分米，宽20分米。在这张长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长是5分米的正方形，然后折成一个长方体铁盒，这个铁盒的体积是多少？【知识点2】打孔问题【例题1】一个长方体被挖掉一小块（如图），下面说法完全正确的是（）。A.体积减少，表面积也减少。B.体积减少，表面积增加。C.体积减少，表面积不变。【例题2】求下面零件的表面积。（单位：厘米）练习1：一个棱长为4分米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置，挖去一个棱长为1分米的小正方体。挖完后得到的形体，它的表面积是多少平方分米？练习2：下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为0.5厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为0.25厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【知识点3】组合图形问题【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）【知识点4】三视图法求面积【例1】右图是由棱长1厘米的正方体拼成的图形，它的表面积是（）㎝²，体积是（）㎝³。至少需要这样的小正方体（）个才能拼成一个大的正方体。【例2】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？练习1：如图，棱长分别为厘米、厘米、厘米、厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是多少平方厘米？（希望杯真题）【导学】三：排水法求不规则物体的体积【例题】1：一个密封的玻璃缸，存水的空间长为6dm，宽为4dm，高为5dm，缸里的水深为3dm。现将缸竖起来，现在的水深是多少？练习1：有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？【例题】2：在一个棱长2分米的正方体的玻璃容器里，向容器里倒入5升水，再把一块石头投入水中，这时量得容器内水深15厘米，石头的体积是多少立方厘米？练习1：把一个土豆放入长15厘米，宽10厘米的长方体容器里，水面由12厘米上升到16厘米，土豆的体积是多少？【例题】3：一个长方体的容器，底面积是16平方分米，装的水高6分米，现放入一个体积是24立方分米的铁块。这时的水面高多少？练习1：把一个体积为80立方厘米的铁块浸在底面积为20平方厘米的长方体容器中，水面高度为10厘米，如果把铁块捞出后，水面高多少？练习2：有一个边长为5cm的正方体铁块，浸没在一个盛水的长方体容器中。取出铁块后，水面下降了0.5cm，求这个长方体的底面积是多少平方厘米？【例题】4：有甲、乙、丙三个正方体水池，它们内边长分别是5米、3米、1米，把两堆碎石分别沉没在乙、丙两个水池的水里，它们的水面分别升高了4厘米和2厘米。如果将这两堆碎石都沉没在甲水池的水里，甲水池的水面升高了多少厘米？练习1：一个长方体容器内装满水。现有大、中、小三个铁球，第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。已知每次从容器中溢出的水量情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。求大球的体积是小球的多少倍？【例题】5：用一个底面是边长8厘米的正方形，高为16厘米的长方体容器，测量一个球形铁块的体积，容器中装的水距杯口还有2厘米。当铁块放入容器中，有部分水溢出，当把铁块取出后，水面下降5厘米，求球形铁块的体积。练习1：一个长方体玻璃缸，从里面量长为8dm，宽为6dm，高为4dm，里面的水深2.8dm。现在要放进去一个棱长为4dm的正方体铁块，玻璃缸内的水会溢出来多少？练习2：有一个正方体容器，边长为25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米，横截面是12平房里面的长方体铁棒，先将铁棒垂直插入水中，水会溢出多少立方厘米？练习3：有一个长方体水箱，从里面量长40厘米、宽30厘米、高35厘米，箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？作业1、一个礼品盒长35厘米，宽22厘米，高20厘米。把它用红丝带进行包装（如图），其中打结用了40厘米丝带。这个礼品盒至少需要多少厘米长的红丝带？2、一个棱长14厘米的正方体木块，表面涂满了黄色，把它切成棱长2厘米的小正方体。问：在这些小正方体中，（1）3个面涂有黄色的有多少个？（2）2个面涂有黄色的有多少个？（3）1个面涂有黄色的有多少个？（4）6个面都没有黄色的有多少个？3、一个长10厘米，宽为6厘米，高为8cm的长方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。问：在这些小正方体中，（1）3个面涂有红色的有多少个？（2）2个面涂有红色的有多少个？（3）1个面涂有红色的有多少个？（4）6个面都没有红色的有多少个？4、有三块完全一样的长方体积木，它们长8厘米、宽4厘米、高2厘米，现把三块积木搭成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少平方厘米？5、把棱长6厘米的正方体铁块锻造成宽和高都是4厘米的长方体铁条，能锻造出多长的铁条？6、有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？7、一个长方体，如果高增加2厘米就成为一个正方体，表面积增加了56平方厘米，原来这个长方体的体积是多少？8、50本数学书摆成一个体积为585立方厘米的长方体，它的长为18厘米，宽为13厘米，则这个长方体的高为多少厘米？9、把一个不锈钢球浸在长15厘米，宽10厘米的长方体容器里，水面由12厘米上升到15.5厘米（水没有溢出），不锈钢球的体积是多少？10、一个棱长5分米的正方体金鱼缸装满水，把这些水全部倒入另一个长25分米，宽10分米的长方体金鱼缸里，这个鱼缸的水深多少分米？11、一个长方体木块，从上部截去5厘米后便成为一个正方体，表面积减少了160平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？12、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体，变成一个正方体，表面积减少了120平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？13、将下图沿虚线折叠，可以围成一个长方体，求围成的这个长方体的体积。14、一个正方体如下图，被切成大大小