10数学基础知识与典型例题复习--排列、组合、概率与统计

第1页第2页数学基础知识与典型例题（第十章排列、组合、概率与统计）排列与组合1．分类计数原理:完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1+n2+n3+…+nM种不同的方法．2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有1m种不同的方法,做第二步有2m种不同的方法,……,做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1·n2·n3·…nM种不同的方法．注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。3.⑴排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑵排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号mnA表示.其中n，m∈N，并且m≤n．⑶排列数公式:!(1)(1)(,,)()!mnnAnnnmmnnmNnm≤当m=n时，排列称为全排列，排列数为nnA=(1)21nn记为n!,且规定O!=1.注：!(1)!!nnnn;11mnmnnAA4.⑴组合的定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.⑵组合数的定义:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号mnC表示.⑶组合数公式:(1)(1)!!!()!mmnnmmAnnnmnCAmmnm.规定01nC，其中m，n∈N+，m≤n.注:排列是“排成一排”，组合是“并成一组”,前者有序而后者无序.排列与组合⑷组合数的两个性质:①;mnmnnCC从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.②11mmmnnnCCC根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C1mn，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有Cmn种，依分类原理有mnmnmnCCC11.5．解排列、组合题的基本策略与方法(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：①直接法;②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有nnA种，()mmn个元素的全排列有mmA种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有mmnnAA种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.6.二项式定理:⑴对于nN，00110()nnnrnrrnnnnnnabCabCabCabCab,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()nab的展开式.注:展开式具有以下特点：项数：共有1n项；系数：依次为组合数;,,,,,,210nnrnnnnCCCCC且每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开.⑵二项展开式的通项：()nab的展开式第r+1为1(0,)rnrrrnTCabrnrZ≤≤.⑶二项式系数的性质.①二项展开式中的(0,1,2,,)rnCrn叫做二项式系数．．．．．②在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；即011,,,.nnrnrnnnnnnCCCCCC第3页第4页排列与组合③二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大且当12nk时，二项系数是逐渐增大，当12nk时，二项式系数是逐渐减小的．(Ⅰ)当n是偶数时,中间项是第12n项,它的二项式系数2nnC最大;(Ⅱ)当n是奇数时,中间项为两项,即第12n项和第112n项,它们的二项式系数1122nnnnCC最大.④系数和：所有二项式系数的和：012nnnnnCCC;奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和:0241312nnnnnnCCCCC.⑤1121mmmmmmmmmnmnCCCCC⑷如何来求()nabc展开式中含pqrabc的系数呢？其中,,,pqrN且pqrn把()[()]nnabcabc视为二项式，先找出含有rc的项()rnrrnCabc，另一方面在()nrab中含有qb的项为qnrqqqpqnrnrCabCab，故在()nabc中含pqrabc的项为rqpqrnnrCCabc.其系数为!()!!!()!!()!!!!rqpqrnnrnnprnnrnCCCCCrnrqnrqrqp.⑸二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。排列与组合例1.3个班分别从5个景点中选择1处游览，不同的选法种数是()(A)53(B)35(C)A35(D)C35例2.5本不同的课外读物分给5位同学,每人一本,则不同的分配方法有()(A)20种(B)60种(C)120种(D)100种例3.6个人排成一排，甲、乙、丙必须站在一起的排列种数为().(A)66A(B)333A(C)3333AA(D)3434AA例4.如果集合A={x│Cx7≤21}，则组成集合A的元素个数有().(A)1个(B)3个(C)6个(D)7个例5.如果3213nxx的展开式中各项系数之和为128,则展开式中31x的系数是()(A)7(B)7(C)21(D)21例6.设(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10则a3=()(A)C311(B)C411(C)2C310(D)C410例7.在103)1)(1(xx的展开式中，5x的系数是()(A)-297(B)-252(C)297(D)207例8.对于小于55的自然数，积(55-n)(56-n)……(68-n)(69-n)等于()(A)Ann5569(B)A1569n(C)A1555n(D)A1469n例9.若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+a8x8+a9x9，则a1+a2+…+a8的值为_______.排列与组合例10.一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.⑴如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少不同的种植方法？如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少不同的种植方法？⑵如图3，圆环分成的n等份为a1，a2，a3，……，an，有多少不同的种植方法？概率1.随机事件及其概率:⑴必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件.⑵不可能事件:在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件.⑶随机事件:在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.⑷随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率mn总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作()PA.⑸概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小,它的取值范围是0,1,必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.2.等可能事件的概率:⑴基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.⑵等可能事件的概率:如果一次试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是1n,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率为()mPAn.3.⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：1212()()()()nnPAAAPAPAPA.⑵对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件.①对立事件的概率和等于1：1)AP(A)AP(P(A).②互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.从集合的角度看，由事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集I中由事件A所含的结果组成的集合的补集.第5页第6页概率4.相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件.注:独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.⑴两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B).证明：设甲试验共有N1种等可能的不同结果，其中属于A发生的结果有m1种，乙试验共有N2种等可能的不同结果，其中属于B发生的结果有m2种，由于事件A与B相互独立，N1，m1与N2，m2之间是相互没有影响的，那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有N1·N2种不同的搭配，显然这些搭配都是具有等可能性的.另外，考察属于事件AB的试验结果，显然，凡属于A的任何一种试验的结果同属于B的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A与B同时发生，即属于事件AB，这种结果总共有m1·m2种.因此得：P(AB)＝2121NNmm＝11Nm·22Nm,∴P(AB)＝P(A)P(B)注:当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.⑵推广:如果事件12,,,nAAA相互独立,那么1212()()()()nnPAAAPAPAPA⑶独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：()(1)kknknnPkCPP.(注:此式为二项式[(1-P)+P]n展开式的第k+1项.)注:①一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与,BA与B，A与B也都相互独立.②对任何两个事件都有()()()()PABPAPBPAB概率例11.10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是()(A)310(B)112(C)12(D)1112例12.2006年6