连续时间系统状态方程的离散化

2.6连续时间系统状态方程的离散化(1)用计算机对连续时间系统状态方程求解－需先将其状态方程化为离散方程（2）对连续受控对象进行计算机在线控制－受控对象模型离散化CxyBuAxx假设：(1)t=kT,T为采样周期，且很小,k=0,1,2…为一正整数（2）u(t)只在采样时离散化，即在kt≤t≤(k+1)T,u(t)=u(kT)=常数，0阶保持一、线性定常系统状态方程的离散化－（按非齐次状态方程解，求出）线性定常系统状态方程的解为：常数取)kT(u)(u,T)k(t,kTtd)(Bu)t()t(x)tt()t(xtt10000不改变与离散后时刻，即得连续离散化方程则：相当于）＋＝（上限相当于下限设令DCkTDukTCxkTykTtkTuTHkTxTGTkxBdttBdteTHtTkTtkTddtTktBdeTHeTTGTTATTkkTTkAAT)()()()()()()(])1([(:)()(0,1,,)1()()()(00)1(])1[(TkkTdkTBuTkktxTTkx)1()(])1[()()(])1([(归纳：将连续状态方程离散化步骤)()()()(])1[(4)(3)()()(2][)(1011kTuTHkTxTGTkxBdteTHTttTTGASILetTAtAt、求、求、＝、求，求其离散化方程已知控制对象满足例uxx1020105.2ttTte)e(/)t()T(G)(22012112)kT(U)kT(H)kT(x)kT(x)T(G]T)k[(x]T)k[(x)(2121114)e()eT(dte)e(/dte)e(/)T(H)(TTTttTtt2202202212112410121110012113tte)e(/]ASI[L)t(2211012111）（解：说明：（1）当T选定后（如T＝0.5秒）G(t)和H(t)都是确定的系数矩阵(2)离散化后得状态方程，可按递推法或Z变换法求出解11)()1()0()()(kjjHujkxkkx二、线性时变系统状态方程的离散化－－按导数定义近似求出，也称近似计算方法假设T很小T≤0.1Tmin（最小时间常数），精度要求不高时，可用差商代替微商。TkTxTkxtxTkkTttxttxtxkTtTt)(])1[(lim)(])1(,[)()(lim)(00区间的导数求取：)()()()()()()()(])1[()()()()]([])1[()()()()()(])1[()(kTTBkTHkTTAIkTGkTukTHkTxkTGTkxkTukTTBkTXkTTAITkxkTukTBkTxkTATkTxTkxkTx比较:当ATIATATIeTkTGAT2)(!21)()(T的值越小,近似程度越高又BdtAtAtIBdtekTHTTAT])(!21[200）（T很小,t就很小,将包含t的各式略去TBTdtBI0结论：上式为近似计算方法例2.6已知时变系统ueexeextttt)1(5055)1(50)1(505555试将它离散化，并求出输入和初始条件分别为近似解时，方程在采样时刻的00)0(,10)(xtu)()(101)()(011])1[(])1[()()()()(])1[(101)1(50552.0)()(011)1(50)1(502.01001)()(2.02.0)1(212121kTukTueekTxkTxeeTkxTkxkTukTHkTxkTGTkxeeeekTTBkTHeeeekTTAIKTGkkTtTkkkkkkkkkkkk得：离散化方程为代入秒，离散化，取解：（2）用递推法求离散方程的近似解：取k＝0，1，2…T＝0.2秒，并代入输入函数和初始条件可得近似解：95.005.210865.00135.0163.037.1135.00865.01)6.0()6.0(63.037.11063.0037.010137.0063.01)4.0()4.0(01100011001001)2.0()2.0(212121xxxxxx递推求下去三、计算机控制系统的状态空间表达式（一）计算机控制系统的组成连续部分：保持和被控对象串联离散部分：数字计算机（二）连续部分离散化，求被控对象离散化状态方程。（三）系统的离散化状态空间表达式：根据系统结构确定系统的离散状态方程和输出方程。特点u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-Cx(kT),例2.7求如图所示的计算机控制系统的状态方程解：对象的状态方程和输出方程为)1(1ss211212101101010xxxyuxxxx说明：u(t)是零阶保持器的输出，即u(kT)=常数满足假设，可离散化方法1、线性定常系统离散化)(11)()(011)()()()(])1[(1110011)(011)(011][)1(210011kTueeTkTxkTxeekTuTHkTxTGTkxdeeTdteeBdteTHceeetGbeeAsILeaTTTTTTTTttATTTATttAt、、、、（2）由u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-x1(kT),代入，得系统的离散化状态方程。)(11)()(112)(11)()(011)]1[()]1[(212121kTreeTkTxkTxeeeeTkTueeTkTxkTxeekxkxTTTTTTTTTT系统输出方程)()(01)()(211kTxkTxkTxkTy令T＝0.1秒，得系统离散化状态空间表达式)()(01)()(095.0005.0)()(905.0095.0095.0995.0)1()1()()(01)()(212121211kTxkTxkTykTrkTxkTxTkxTkxkTxkTxkTxkTy方法2、近似离散化A(kT)=A定常B(kT)=B)()()()(0)()(101])1[(])1[(0)(101)(12121kTxkTrkTukTuTkTxkTxtTTkxTkxTTBkTHbTTTAIkTGa、、系统离散状态方程（T＝0.1）)()(01)()(1.00)()(9.01.01.09.0])1[(])1[(212121kTxkTxkTykTrkTxkTxTkxTkx输出可见T较小时，两种方法得状态空间表达式近似相等。离散方程求解可按2.3递推法或Z变换求解