重积分定积分概念的推广(1)

1重积分—定积分概念的推广定积分y=f(x)区间[a,b]被积函数积分域计算二重积分z=f(x,y)平面D化为二次定积分三重积分u=f(x,y,z)空间Ω化为三次定积分曲线积分z=f(x,y)平面弧段L化为定积分u=f(x,y,z)空间弧段Γ化为定积分曲面积分u=f(x,y,z)曲面片S化为二重积分进一步：2问题的提出对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的性质对弧长的曲线积分的计算3实例:曲线形构件的质量oxyAB1−nMiM1−iM2M1M),(iiηξL分割,,,,121insMMMΔ→−,),(iiisΔ∈ηξ取.),(iiiisMΔ⋅≈Δηξρ求和.),(1∑=Δ⋅≈niiiisMηξρ取极限.),(lim10∑=→Δ⋅=niiiisMηξρλ近似值精确值一、问题的提出近似代替.),,(),(的质量分布不均匀，求该构件质量线密度为弧平面上一条曲线设构件占有⌒yxLABxoyρ解},max{21nSSSΔΔΔ=λ令4二、对弧长的曲线积分的概念1211,(,).,,,.,(,),(,),(,),niiiiiiniiiiLxoyfxyLLMMMLnisifsfsξηξηξη−=Δ⋅Δ⋅Δ∑设为面内一条函数在上有界用上的点把分成个小段设第个小段的长度为又为第个小段上任意取定的一点作乘积并作和光滑曲线弧1.定义oxyAB1−nMiM1−iM2M1M),(iiηξL)(),(,),(lim10也称第一型曲线积分上对弧长的曲线积分在则此极限值称之为若LyxfSniiii∃Δ∑=→ηξρλ5∑∫∫=→Δ=niiiiLLsdsyxfdsyxf10),(lim),(,),(:ηξρλ即记作被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量.),(∫=LdsyxMρ2.存在条件.),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当∫LdsyxfLyxf6注0)2(),(,)1(∫dsdsyxfLL记为为闭曲线时若3.推广曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数Γ),,(zyxf.),,(lim),,(10iniiiisfdszyxfΔ⋅=∑∫=→Γζηξλ7三、对弧长的曲线积分的性质.),(),()],(),([)1(∫∫∫±=±LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数kdsyxfkdsyxkfLL∫∫=.),(),(),()3(21∫∫∫+=LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL+=sdsL=∫)4(!分段光滑的情形有用特别在L8四、对弧长的曲线积分的计算定理)()()()](),([),(,),(,],[)('),('),(),(),(,),(22βαψϕψϕβαβαψϕβαψϕβα′+′=⇒∈≤≤⎩⎨⎧==∫∫dtttttfdsyxfLBAyxMtCttttytxLLyxfL描出变到点从时，对应点变到由当其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设9∫∫∫∫∑∑∫+=+=+===Δ=Δ=∴======→=→−LtLniiiiniiiiLiiiiiidtttttfdssysxfdtttdsdttttssdssysxfssysxfsdsyxfssMMssMABLLsBsALsAM022222201''0101)(')(')](),([))(),(())(')('()(')(')()](),([)](),([lim),(lim),('),(,),(,0,βααλλψϕψϕψϕψϕηξρηξ令对应上的一点并令弧对应于点的全长为弧对应于点对应则点的参数为曲线取弧长⌒⌒⌒证明10注;.1βα一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中yxyxf特殊情形.)(:)1(bxaxyL≤≤=ϕ.)('1)](,[),(2dxxxxfdsyxfbaL∫∫+=ϕϕ)(ba.)(:)2(dycyxL≤≤=ψ.)('1]),([),(2dyyyyfdsyxfdcL∫∫+=ψψ)(dc11推广:)().(),(),(:βαωψϕ≤≤===Γttztytx)()()()()](),(),([),,(222βαωψϕωψϕβα′+′+′=∫∫Γdtttttttfdszyxf12∫+=LdsyxI)(计算例1∫∫∫==+=+=≤≤=202122'1)(0'),20(,0:)(xdxdxyxdsyxyxyLiL解221)2('1)2()(0'),30(,2:)(32322=+=++=+=≤≤=∫∫∫dyydyxydsyxxyxLiiL222()(0,0)(2,0)()(2,0)(2,3)()iLiiLABiiiLxyR+=是与之间的直线段是与之间的直线段是的上半圆周13202)sincos()(cos)(',sin)(')0(sin,cos:)(RRdttRtRdsyxRdtdstRtytRtxttRytRxLiiiL∫∫=+=+==−=≤≤==ππ)20(,sin,cos:)(222π≤≤===++∫tktztaytaxLdszyxP计算例2)382(][)()(23222203322220222222222kakattakadtkatkadszyxkLππππ++=++=++=++∫∫解14形的整个边界。第一象限内所围成的扇轴在及xxyayxLdseLyx==+∫+,:22222oxL2:y=x2223:ayxL=+L1:y=0ydxdsyaxxyLadtdsttaytaxLdxdsyaxyL2,1'),20(:)40(sin,cos:,0'),0(0:321==≤≤==≤≤====≤≤=πaaxaaxeaedxeadtedxea4)1(222240200ππ+−=++=∫∫∫∫∫∫∫++++++=32222212222LyxLyxLyxLyxdsedsedsedse例3解15)1(2,=ρα设的对称轴的转动惯量对于它的圆弧中心角为计算半径为ILR)cossin()2sin22(2]2sin21[2]22sin[cos33321322222222αααααααααααππππππ−=−=+=+===+−+−+−∫RRttRttRtRdtRIIyαxoyRdtdstRytRxdsxdsxILLy=====∫∫sin,cos22令ρ例4解