高中数学不等式选讲练习题

数学·不等式选讲·练习题1一．解答题（共29小题）1．（2003•广东）已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．2．（2009•丹东二模）已知函数f（x）=2x+1．（I）解不等式；（II）若x≠0，求证：．3．（2011•禹王台区校级模拟）（1）若|a|＜1，|b|＜1，比较|a+b|+|a﹣b|与2的大小，并说明理由；（2）设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当4．（2012•公安县校级模拟）设函数f（x）=|x﹣m|﹣mx，其中m为常数且m＜0．（1）解关于x的不等式f（x）＜0；（2）试探求f（x）存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．5．（2012•浉河区校级模拟）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．6．（2014秋•临川区校级期中）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．7．（2014春•乳山市期末）已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小2．8．（2004•江苏）已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有λ（x1﹣x2）2≤（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]和|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|，其中λ是大于0的常数，设实数a0，a，b满足f（a0）=0和b=a﹣λf（a）（Ⅰ）证明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f（b0）=0；（Ⅱ）证明（b﹣a0）2≤（1﹣λ2）（a﹣a0）2；（Ⅲ）证明[f（b）]2≤（1﹣λ2）[f（a）]2．9．（2009•惠州模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m﹣x），m为正的常数．（1）求函数g（x）的定义域；（2）求g（x）的单调区间，并指明单调性；（3）若a＞0，b＞0，证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）﹣f（b）．10．（2010•上海）若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若x2﹣1比3接近0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近；（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1﹣sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．11．（2010•宁德校级模拟）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）求函数f（x）的最小值．12．（2011•黑龙江）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．13．（2011•辽宁）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|（Ⅰ）证明：﹣3≤f（x）≤3；（Ⅱ）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．14．（2011•安徽）（Ⅰ）设x≥1，y≥1，证明x+y+≤++xy；（Ⅱ）1≤a≤b≤c，证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac．15．（2013•昭通模拟）已知函数．（1）当时，如果函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，求实数k的取值范围；（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；（3）求证：（n∈N*）．16．（2013•西湖区校级模拟）用适当方法证明：已知：a＞0，b＞0，求证：．17．（2014•太原一模）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求实数a的取值范围．18．（2014•兴安盟三模）设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围．19．（2014秋•桦南县校级期末）已知函数F（x）=|3x﹣1|+ax（Ⅰ）当a=3时，解关于x的不等式f（x）≥|x﹣3|；（Ⅱ）若f（x）≥x﹣在R上恒成立，求实数a的取值范围．20．（2014•红河州模拟）函数f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁RA）时，求证：＜|1+|．21．（2015•乌鲁木齐模拟）设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．22．（2015•江西二模）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．23．（2015•南昌校级二模）已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围．24．（2015•秦安县一模）已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．25．（2015•沈阳一模）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．26．（2015•淮安模拟）已知x，y，z均为正数．求证：．27．（2008•嘉定区校级模拟）己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．28．（2011•乐山二模）设，其中f（x）=lnx，且g（e）=．（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求p与q的关系；（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（Ⅲ）证明：①f（x）≤x﹣1（x＞﹣1）；②（n∈N，n≥2）．29．（2015•苍梧县校级一模）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣2a|，不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣2≤x≤6}．（1）求实数a的值；（2）若存在x∈R，使不等式f（x）+f（x+2）＜m成立，求实数m的取值范围．