三重积分详解

三重积分第二节一、三重积分的概念设),,(zyxf是空间有界闭区域上的有界函数，(1)将闭区域任意分成n个小闭区域1v，2v,,nv，其中iv表示第i个小闭区域，也表示它的体积,(2)在每个iv上任取一点),,(iii作乘积iiiivf),,(，),,2,1(ni，1(3)(,,)niiiiifv(4)如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),,(zyxf在闭区域上的三重积分，记为dvzyxf),,(,即.),,(lim),,(10iniiiivfdvzyxf.叫做体积元素其中dv,来划分用平行于坐标面的平面在直角坐标系中，如果.lkjizyxv则三重积分记为dxdydzzyxf),,(iiiniivf),,(lim10..积元素叫做直角坐标系中的体其中dxdydz三重积分的性质与二重积分的类似。特别地，被积函数1),,(zyxf时，的体积dv.x0zyz2(x,y)I=DyxddPNM..Dz1(x,y)zyxzyxfIddd),,(二、直角坐标系下三重积分的累次积分法1.先一后二法,Dxoy面上的投影为闭区域在闭区域),,(:),,(:2211yxzzSyxzzS),(),(d),,(yxzyxzzzyxfx0zyz2(x,y)I=D这就化为一个定积分和一个二重积分的运算z1(x,y).zyxzyxfIddd),,(),(),(d),,(yxzyxzzzyxfDyxdd二、直角坐标系下三重积分的累次积分法1.先一后二法三重积分化为三次积分的过程：。面上投影，得到向Dxoy)1(xyzoD(4)Dx向轴投影，得到ab).()(,:21xyyxybxaD(2)(,),xyD过点作直线得到).,(),(21yxzzyxz1z2z),(yxdvzyxf),,(.),,()()(),(),(2121baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx21(,)(,)(3)(,,)(,,).zxyzxyDfxyzdvdxdyfxyzdz注意相交不多于两点情形．的边界曲面区域内部的直线与闭轴且穿过闭区域平行于Sz)1(．分若干个小区域来讨论相交多于两点时，把的边界曲面闭区域内部的直线与轴且穿过闭区域若平行于)2(Sz例计算三重积分xdxdydz，其中为三个坐标面及平面12zyx所围成的闭区域.211xozy1。面上投影，得到向Dxoy.210,10:xyxD,),(的直线轴作平行与过点zDyx得到.210yxz解D于是，dxdydzx10021021xyxxdzdydx10021021xdyxzdxyx100221)2(xdyxyxxdx1002221)(dxxyyxxx1032)2(41dxxxx104324132241xxx.481于是，dxdydzx10021021xyxxdzdydx,),(的直线轴作平行与过点zDyx得到.210yxzoxyz12例计算三重积分dxdydzz。其中：平面,0,,2,1zxyxx及yz2所围成的闭区域.。面上投影，得到向Dxoy.0,21:xyxD,),(轴的直线作平行与过点zDyx得到.20yz解D.200,21:yzxyx，即于是，dxdydzz21020xyzdzdydxoxyz12。面上投影，得到向Dxoy.0,21:xyxD,),(轴的直线作平行与过点zDyx得到.20yz解D.200,21:yzxyx，即210281xdyydx213241dxx.325例化三重积分dxdydzzyxfI),,(为三次积分，其中积分区域为由曲面222yxz及22xz所围成的闭区域.解由22222xzyxz,得交线投影区域,122yx故：22222221111xzyxxyxx,.),,(11221122222xyxxxdzzyxfdydxI因此，故：22222221111xzyxxyxx,666x+y+z=63x+y=62.例x0zyzyxz,y,xfIddd)(Ω计算：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域666x+y+z=63x+y=62.例x0zyzyxz,y,xfIddd)(Ω计算：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy42zyxz,y,xfIddd)(Ω计算：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy42zyxz,y,xfIddd)(Ω计算：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域z=0y=042x+y+z=6.x0zy666zyxz,y,xfIddd)(Ω计算：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域42.x0zy666：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域例.zyxz,y,xfIddd)(Ω计算yxDzz,y,xfyxI60)d(dd.D0yx624DyxyyzzyxfxyI603243260d),,(dd.y14x+y=4xzo122yxz.例zyxz,y,xfIddd)(Ω计算41:Ω22及三个坐标面所围区域平面,曲面yxyxzy14x+y=4xzo1122yxz.zyxz,y,xfIddd)(Ω计算取第一卦限部分41:Ω22及三个坐标面所围区域平面,曲面yxyxz41:Ω22及三个坐标面所围区域平面,曲面yxyxz4x+y=4y=0xyzDyxzz,y,xfyxId)(dd1022.Dzzyxfyxyxxd),,(dd..ozyxz,y,xfIddd)(Ω计算11x+y=1yozx1z=xy.例例.所围成的区域与:z,yxxyzzyxz,y,xfIddd)(Ω计算z=01x+y=1ozx1yz=xy.例所围成的区域与:z,yxxyzzyxz,y,xfIddd)(Ω计算11z=0ozxx+y=1yDxyzz,y,xfyxI0)d(dd。zz,y,xfyxxyxd)(dd01010。z=xy.例所围成的区域与:z,yxxyzzyxz,y,xfIddd)(Ω计算x0zyzyxzyxfIddd),,(zDy,x,czc|z,y,x)()(Ω21其中c1c2zDz先做二重积分，后做定积分2.截面法（先二后一法）x0zyzyxzyxfIddd),,(zDy,x,czc|z,y,x)()(Ω21其中c1c2.先做二重积分，后做定积分zDz2.截面法（先二后一法）x0zyzyxzyxfIddd),,(zDy,x,czc|z,y,x)()(Ω21其中c1c2I=21dcczzDyxx,y,zfd)d(.先做二重积分，后做定积分zDz2.截面法（先二后一法）x0zyzyxzyxfIddd),,(zDy,x,czc|z,y,x)()(Ω21其中c1c2.先做二重积分，后做定积分I=21dcczzDyxx,y,zfd)d(2.截面法（先二后一法）(3)计算二重积分zDdxdyzyxf),,(其结果为z的函数)(zF；(4)最后计算单积分21)(ccdzzF即得三重积分值.zzD(1)把积分区域向某轴（例如轴Z）投影，得投影区间[c1,c2](2)对用过轴且平行xoy平面的平面去截，得截面Dz;截面法的一般步骤：zyxzIdddΩ2所围成的闭区域是由其中1Ω222222czbyaxx0yzbc例计算aD02222221)(Ωczbyax,czc|z,y,xd2cczzzDyxddzyxzIdddΩ2Dz所围成的闭区域是由其中1Ω222222czbyax..bczyxzIdddΩ2cczzczabπd)1(222.3154abcπ.x0yzD0a1)1()1(22222222czbyczax.2222221)(Ωczbyax,czc|z,y,xz0xzyM(r,,z)zrNxyz(x,y,z)(r,,z)三、柱面坐标下三重积分的计算...,sin,coszzryrx1、柱面坐标,0r,20.z简单地说，柱面坐标就是xoy面上的极坐标+z坐标柱面坐标与直角坐标的关系为z动点M(r,,z)柱面Sr=常数：平面z=常数：x0yzMrSz2.柱面坐标的坐标面动点M(r,,z)半平面P柱面S=常数:r=常数：平面z=常数：zx0yzMrSP.2.柱面坐标的坐标面半平面及+d;半径为r及r+dr的圆柱面；平面z及z+dz；xzy0rdz平面z元素区域由六个坐标面围成：3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式xzy0rdz底面积：rdrd元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；dz平面z+dz.3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式xzy0rdz底面积：rdrd元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为r及r+dr的园柱面；平面z及z+dz；dz(cos,sin,)VfrrzzθrrdddzyxddddV=zrrddd..ddd(,,)VfxyzxyzdV3、柱面坐标下的体积元素及三重积分计算公式再根据V中z，r，的关系，化为三次积分。一般，先对z积分，再对r，最后对积分。例利用柱面坐标计算三重积分,Vzdxdydz其中V所围成的闭区域。与平面是由曲面422zyxz解(1)画V图(2)确定z，r，的上下限将V向xoy面投影，得4:22yxD或.20,20:rD过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得xyzo4xyzo4Ao22r),(rxyzo4),(r42zr.,sin,coszzryrx即过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得202,:02,4Vrrz于是，Vzdxdydz.Vzrdrddz420202rdzzrdrdAo22r,dzddrrdvVzdxdydzVzrdrddz420202rdzzrdrd20422022drzrdr20520)(1621drrrd20206261821drr2062618221rr.364例求zdxdydzI，其中是球面4222zyx与抛物面zyx322所围的立体.解