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第12课时二次函数的图象与性质第12课时┃二次函数的图象和性质皖考解读皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测考点考纲要求年份题型分值预测热度二次函数的概念了解★二次函数的图象和性质掌握2010选择题4分★★★2010解答题5分2012选择题4分2012解答题3分二次函数解析式的确定掌握2013解答题8分★★★★★二次函数的图象与系数的关系掌握★★二次函数与方程关系掌握★★第12课时┃二次函数的图象与性质考点聚焦考点1二次函数的概念一般地，形如________________(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.二次函数的概念当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式.y＝ax2＋bx＋c例1若y＝(m＋1)xm2－6m－5是二次函数，则m＝()A．7B．－1C．－1或7D．以上都不对A根据x的次数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．由题意得m2－6m－5＝2且m＋1≠0，解得m＝7或－1，m≠－1，∴m＝7，故选A.解析第12课时┃二次函数的图象与性质考点2二次函数的性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)a0a0图象开口方向抛物线开口向上，并向上无限延伸．抛物线开口向下，并向下无限延伸．对称轴直线x＝－b2a顶点坐标－b2a，4ac－b24a皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第12课时┃二次函数的图象与性质增减性在对称轴的左侧，即当x－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x－b2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增．在对称轴的左侧，即当x－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x－b2a时，y随x的增大而减小，简记左增右减.最值抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a.抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝4ac－b24a.皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第12课时┃二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质例2[2013·泰安]对于抛物线y＝－12(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4C皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测变式题[2012·咸宁]对于二次函数y＝x2－2mx－3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m＝1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝－1；④如果当x＝4时的函数值与x＝2008时的函数值相等，则当x＝2012时的函数值为－3.其中正确的说法是________．(把你认为正确说法的序号都填上)①④典题试做1．(2012·甘肃兰州)抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是()A．直线x＝12B．直线x＝－12C．y轴D．直线x＝2C2．(2011·甘肃兰州)抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标是()A．(1，0)B．(－1，0)C．(－2，1)D．(2，－1)A3．(2013·湖北襄阳)二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)、B(x2，y2)在此函数图象上，且x1x21，则y1与y2的大小关系是()A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y24．(2013·广东湛江)抛物线y＝x2＋1的最小值是___B1第12课时┃二次函数的图象与性质1．抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为()A．(3，－4)B．(3，4)C．(－3，－4)D．(－3，4)A皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测2．二次函数y＝-2(2x+3）2-5对称轴是_____有最____值为_____第12课时┃二次函数的图象与性质考点4二次函数与一元二次方程名称关键点回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．1.当b2－4ac＞0时抛物线与x轴有________交点，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；2.当b2－4ac＝0时抛物线与x轴有________交点，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；二次函数与一元二次方程的关系3.当b2－4ac＜0时抛物线与x轴__________交点，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根.两个一个没有皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测特别地，如果抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是x1、x2，那么对称轴是x＝x1＋x22.第12课时┃二次函数的图象与性质例4[2013·苏州]已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是()A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3B由于二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，即x＝1是一元二次方程x2－3x＋m＝0的根，代入得12－3＋m＝0，m＝2，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，故选B.解析皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第12课时┃二次函数的图象与性质考点5二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、b、c之间的关系字母关键点回顾a1.a0时，开口向上；2.a0时，开口向下.|a|越大，抛物线的开口程度________，|a|越小，抛物线的开口程度________.b1.b＝0时，对称轴为y轴；2.ab0(b与a同号)时，对称轴在y轴左侧；3.ab0(b与a异号)时，对称轴在y轴右侧．c1.c＝0时，经过原点；2.c＞0时，与y轴正半轴相交；3.c＜0时，与y轴负半轴相交．特殊关系1.当x＝1时，y＝a＋b＋c；若a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞02.当x＝－1时，y＝a－b＋c；若a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0.3.2a＋b_0和2a－b_0以及类似4a－2b_0可由对称轴x＝－b2a与1或-1比较越小越大第12课时┃二次函数的图象与性质例6[2013·广安]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图12－3所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc0；②2a＋b＝0；③b2－4ac0；④4a＋2b＋c0，其中正确的是()图12－3A．①③B．只有②C．②④D．③④C皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测第12课时┃二次函数的图象与性质3．如图12－5是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，刘星同学观察得出了下面四条信息：①b2－4ac0；②c1；③2a－b0；④a＋b＋c0.你认为其中正确的有________．(只填序号)图12－5①③④皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测题型3同一坐标系中两种函数图象的分布（难点）函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象大致是()【点评】在同一坐标系中研究两种函数图象的分布情况，应注意分析两种函数图象的特征数，看看分析的结果是否一致，结果一致的是正确的，否则是错误的．例3C跟踪训练3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝ax与正比例函数y＝(b＋c)x在同一坐标系中的大致图象可能是()B解析：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，∴b＋c＜0.对照各选项可知，应选B.考点6二次函数图象的平移将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成_______________________的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由y＝ax2平移得到，具体平移方法如下：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)[注意]左加右减自变量，上下加减常数项，位置改变形不变，顶点改变是关键。跟踪训练4．(2013·四川雅安)将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为()A．y＝(x－2)2B．y＝(x－2)2＋6C．y＝x2＋6D．y＝x2D例5[2013·枣庄]将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为()A．y＝3(x＋2)2＋3B．y＝3(x－2)2＋3C．y＝3(x＋2)2－3D．y＝3(x－2)2－3A把抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝x2－3x＋5，则b、c的值分别为()A．b＝3，c＝7B．b＝6，c＝3C．b＝－9，c＝－5D．b＝－9，c＝21例4A【解析】把抛物线的解析式y＝x2－3x＋5化为顶点式y＝x－322＋5－94，即y＝x－322＋114.根据题意可知，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，就可得到抛物线y＝x2＋bx＋c.按照“左加右减，上加下减”的规律可得，y＝x－32＋32＋114＋2，即y＝x2＋3x＋7.所以b＝3，c＝7.故A.第12课时┃二次函数的图象与性质变式题[2013·聊城]如图12－2，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2经过平移得到抛物线y＝12x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为()图12－2A．2B．4C．8D．16B皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测