华中科技大学的结构动力学

华中科技大结构动力学结构力学土木工程与力学学院2012年3月（Ⅱ）授课内容13.2单自由度体系的自由振动13.6一般多自由度体系的自由振动13.1动力计算的特点和动力自由度13.5两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动13.7多自由度体系在任意荷载下的强迫振动13.8计算频率的近似法13.3单自由度体系的强迫振动13.4两个自由度体系的自由振动13.1.1动力计算的特点13.1动力计算的特点和动力自由度13.1.2动力荷载的分类13.1.3动力计算的自由度13.1.1动力计算的特点结构动力学：研究结构在动力荷载作用下的动力反应。（1）地震现场录像（2）地震振动台实验录像例如地震荷载：动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置随时间而变化。（1）Tacoma大桥风毁录像（2）南浦大桥风洞实验录像例如风荷载：13.1.1动力计算的特点荷载的变化周期是结构自振周期5倍以上，则可看成静荷载。用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型铝质模型的自由振动记录有机玻璃模型的自由振动记录用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型有机玻璃模型的自由振动记录铝质模型的自由振动记录动力计算与静力计算的区别：加速度：可否忽略动力计算的内容：1）结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型2）荷载的变化规律及其动力反应（自由振动）（受迫振动）1）牛顿运动定律2）惯性力√动静法（达朗伯原理）特点：考虑惯性力，形式上瞬间的动平衡！建立微分方程，,,yyy13.1.1动力计算的特点如何考虑13.1.2动力荷载的分类1）周期荷载2）冲击荷载3）随机荷载P(t)tPt简谐荷载P(t)ttrPP(t)ttrPP(t)tPP(t)t爆炸荷载1爆炸荷载2突加荷载地震波一般周期荷载结构动力学的研究内容和任务：第二类问题：反应分析（结构动力计算）第一类问题：参数（或称系统）识别输入（动力荷载）结构（系统）13.1.2动力荷载的分类输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）输出（动力反应）第三类问题：荷载识别输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第四类问题：控制问题输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）控制系统（装置、能量）13.1.2动力荷载的分类求解结构的动力特性；剖析结构动力反应规律，提出结构在动力反应的分析方法；为结构设计提供可靠的依据。本课程主要任务是：安全性：确定结构在动力荷载作用下可能产生的最大内力，作为强度设计的依据；舒适度：满足舒适度条件（位移、速度和加速度不超过规范的许可值)。13.1.2动力荷载的分类可靠性设计依据：建筑抗震设计原则结构“小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。”y13.1.3动力计算的自由度确定全部质量的位置，所需独立几何参数的个数。动力自由度：这是因为：惯性力取决于质量分布及其运动方向。mE、A、I、R体系振动自由度为？无限自由度(忽略)m三个自由度忽略轴向变形忽略转动惯量自由度为？单自由度m0,,0mEAR例：简支梁：m13.1.3动力计算的自由度集中质量法：将分布质量集中到某些位置。无限有限例1：2EIEIEIy(a)单自由度y1y2(b)两个自由度例2：θ(t)(c)三个自由度()mx(d)无限自由度(,)yxtx13.1.3动力计算的自由度例3：u(t)v(t)例4：确定体系的振动自由度时，一般忽略梁和刚架的轴向变形，和集中质量的惯性矩的影响集中质量法几点注意：1）体系动力自由度数不一定等于质量数。一个质点两个DOF两个质点一个DOF两个质点三个DOF2）体系动力自由度与其超静定次数无关。3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度。m1m2yxxx13.1.3动力计算的自由度改变水平振动时的计算体系3个自由度4个自由度m1m2m32个自由度自由度与质量数不一定相等y1y2y1y3y2y3y4y1y213.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立13.2单自由度体系的自由振动13.2.2单自由度体系自由振动微分方程解答13.2.3结构的自振周期和自振频率13.2.4阻尼对自由振动的影响一、自由振动（体系在振动过程中没有动荷载的作用，只有惯性力）1.自由振动产生原因——体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。静平衡位置m获得初位移ym获得初速度y2.研究单自由度体系的自由振动重要性（1）它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。（2）它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性——自振频率和振型13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立以一悬臂柱为对象：自由振动初始位移初始速度同时作用y(t)kmymmy模型2隔离体理解两模型中“k”含义mymky模型1“弹簧－小车”kyky建立自由振动的微分方程:两种方法：1）刚度法—力的平衡2）柔度法—位移协调1kδ1P建立方程1）刚度法：以质量为隔离体00Xmyky1k模型2模型1刚度系数k柔度系数δ概念理解mykyy13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立建立自由振动的微分方程:两种方法：1）刚度法—力的平衡2）柔度法—位移协调建立方程2）柔度法：M点位移ykymyky13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立ymFiymFyi0yym惯性力建立方程1）刚度法：mykyW0y0kymyWstdyyy()()0stdstdkyymyyW0ststkyWy0ddkymy0kymy以质量为隔离体my13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立建立方程2）柔度法：mkymyWstdyyy()stdstdstyymyyy0sty0ymy以梁为对象建立位移方程()ytkykymyWymyWstWyddymyky13.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立（1）刚度法——研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程，需要用到刚度系数。▲方法小结（2）柔度法——研究结构上质点的位移，建立位移协调方程，需要用到柔度系数。刚度法柔度法（3）方法选择谁较简单？谁较容易求得。取决于结构的柔度系数刚度系数超静定结构，查表（形常数）静定结构，图乘法求δ顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！0myky原方程：0kyym2()km令：通解为：12()sincosytCtCt由初始条件：020(0)yyCy001(0)vyvC00()cossinvytytt解为：T0y(t)ty0-y0T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T0y(t)t0v0v13.2.2单自由度体系自由振动微分方程解答化成单项三角函数的形式:解又可表达为：将其展开：()sincoscossinytatat00()cossinvytytt相比较得：0sinya0cosva22100020tanvyayv()sin()ytat则：振幅T0y(t)taa0y自由振动总位移：初始相位角13.2.2单自由度体系自由振动微分方程解答13.2.3结构的自振周期和自振频率()sin()ytat由式:可知时间经后，质量完成了一个振动周期。2T用T表示周期，周期函数的条件:y(t+T)=y(t)12fT1)自振周期计算公式：2mTk2m2Wg2stg2)自振频率计算公式：1stkggmmW秒内的振动次数2用表示圆频率：用表示频率：每秒钟内的振动次数f泛美大厦，60层钢结构，南北方向的基本固有周期为2.90秒，大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水为310英尺和345英尺十分别为0.288秒和0.306秒，金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒[例13.1]求图示梁结构的自振周期和自振频率。mEIl/2l/21Pl/4解：为求柔度系数，在质点上加单位力1（图乘法）348lEI32248mlTmEI[思考]比较图示结构的自振频率348EIlml/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm(a)(b)(c)(a)(b)(c)13.2.3结构的自振周期和自振频率[例13.2]图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数为cz=0.6N/cm3，基础底面积A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时振频率。W解:让振动质量向下单位位移需施加的力为：3112109.844.2760kkgsmWk=czA=0.6×103×20=12×103kN/m自振频率为：13.2.3结构的自振周期和自振频率[例13.3]如图所示简支梁，将一重为W的物体从高h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统的振动规律。hyyystW解:自由落体后，梁以一定的初速度上下作自由振动，其振动平衡位置为yst。sin()yAt设：其中：stgy22002100tanvAyyv振幅：初始相位角：初始条件：002styyyghststyW13.2.3结构的自振周期和自振频率1.例如设:则0.4,10stycmhcm98049.5/0.4stgradsy20.42100.42.86Acm0.4()0.1410.14210arctgarctgrad则振动规律为：2.86sin(49.50.14)yt具体例子比较:13.2.3结构的自振周期和自振频率h0.4stAycm()2arctg0.4sin(49.5)2yt13.2.3结构的自振周期和自振频率2.如图所示简支梁，将一重为W的物体将物体无初速地放置在梁中点，求该系统的振动规律。98049.5/0.4stgradsyststyW2.86sin(49.50.14)yt比较结果可知，h＝10cm时的振幅位移是h＝0的7倍则振动规律为：[1]求图示结构的自振频率。LL/2EIk作业LEIEIEILmm[2]列出图示结构的运动方程。kEI2mL/2L/3L/2m思考题P286页13-1，13-2，13-4，13-5，13-6，13-7作业[例13.4]求图示结构的自振频率。LL/2EIkL/2kP=1M1图31313L33()22222222222984LLLLLLEIkLEIk解：画M1图；由M1图求得；由求得。3/2319(84LmEIk13.2.3结构的自振周期和自振频率[例13.5]求图示结构的频率。解1：是单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于结构对称，可取半刚架计算。342EImL311212()22223222324LLLLLLLEIEILEIEIEILmmM图L/2P=1/22L/2EIEIEI13.2.3结构的自振周期和自振频率P=1[例13.6]列出图示结构的运动方程。kEI2mL/2L/3L/2m12my2my1k2()t解：是单自由度体系。以建立位移方程。()t1122()(2)()tmymyP=1k121/2P=1k124/3k121/L112L243L12Ly243Ly14441()(2)()223318LLtmmmLL13.2.3结构的自振周期和自振频率M=113.2.4阻尼对自由振动的影响mky1)不考虑阻尼0y(t)taamky=0c2)考虑阻尼阻尼是客观存在的振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，