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五年级奥数基础班讲义从课本到奥数--------阶梯教学法让乏味变有趣---------游戏化课堂常州南师校友培训中心（清凉校区）第二章:公因数和公倍数知识透析几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]=a×b。两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：最大公约数×最小公倍数=两数的乘积即（a、b）×[a、b]=a×b要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆。因倍魔法世界之魔法秘籍短除法（最大公因数）（1）必须每次都用n个数的公约数去除；（2）一直除到n个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）n个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。短除法（最小公倍数）（1）必须先用（如果有）n个数的公约数去除，除到n个数没有除去1以外的公约数后，在用1n个数的公约数去除，除到1n个数没有除1以外的公约数后，再用2n个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n个数的商两两互质为止；（3）n个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。分解质因数法（最大公约数，最小公倍数）日期：3.18五年级奥数基础班讲义从课本到奥数--------阶梯教学法让乏味变有趣---------游戏化课堂常州南师校友培训中心（清凉校区）因倍魔法世界之神秘魔咒移星换斗·摇身一变圣洁之光普照万物·转化思想------就是将未知解法或难以解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,选择恰当的方法进行变换,化归为已知知识范围内已经解决或容易解决的问题方法的数学思想.因倍魔法世界的历练进阶初级数魔法师初级魔咒：万物有灵，分分合合魔导师的传授1、求2520、14850、819的最大公约和数最小公倍数。（用因数分解法）试炼1：求35、98、112的最大公约数和最小公倍数。（用因数分解法）魔导师的传授2、求36、108、126的最大公约数和最小公倍数。（用短除法）试炼2、求403、527、713的最大公约数和最小公倍数。（用短除法）进阶中级魔法师中级魔咒：公平之刃，裁天下之因魔导师的传授1：用635和779除以同一个整数，余数都是23，求这个数。五年级奥数基础班讲义从课本到奥数--------阶梯教学法让乏味变有趣---------游戏化课堂常州南师校友培训中心（清凉校区）初阶魔兽1：用348和635除以同一个整数，余数都是19，这个整数是多少？魔导师的传授2：一个数除200余4，除300余6，除500余10，求这个数最大是多少？初阶魔兽2：一个数除425余5，除500少4，除300余6，求这个数最大是多少？魔导师的传授3：：一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。现在要把它裁成一块块相同面积的正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？中介魔兽1：把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，并且边长必须为整厘米数，至少能裁多少块？魔导师的传授4：有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？中介魔兽2：有三根钢管，分别长18分米，36分米，72分米，把这三根钢管分别截成同样长的小段，每小段钢管最长是多少分米？一共可以截成多少段？五年级奥数基础班讲义从课本到奥数--------阶梯教学法让乏味变有趣---------游戏化课堂常州南师校友培训中心（清凉校区）魔导师的传授5：在一个长30米，宽12米的长方形池塘的四角和四条边上种树。若相邻两棵树之间的距离相等，最少要种多少棵树？每相邻两棵树之间的距离是多少米？中介魔兽3：有336个苹果、252个橘子、210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼品？在每份礼品中，苹果、橘子、梨各有多少个？进阶高级魔法师高级魔咒：圣洁之光，融百灵之异魔导师的传授1：有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？解析：根据已知条件可知，假如把这个自然数增加3（10-7=3,7-4=3,4-1=3），所得的数就正好能被10、7和4这三个数整除，即10、7和4的最小公倍数，然后再减去3就能得到所求的数了。[10，7，4]=140140－3=137即：这个自然数最小是137。高级魔兽场：多足怪1：学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年级最少多少人？2：一个数能被3、5、7整除，但被11除余1。这个数最小是多少？3：一袋糖，平均分给15个小朋友或20个小朋友后，最后都余下5块。这袋糖至少有多少块？魔导师的传授2：有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？分析：根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672，再根据“总数在1000以内”确定水果总数。五年级奥数基础班讲义从课本到奥数--------阶梯教学法让乏味变有趣---------游戏化课堂常州南师校友培训中心（清凉校区）[24，28，32]=672672－2=670（个）即：这批水果共有670个。高级魔兽场：六臂猿1，一所学校的同学排队做操，排成14行、16行、18行都正好能成长方形，这所学校至少有多少人？2，有一批乒乓球，总数在1000个以内。4个装一袋、5个装一袋或6个、7个、8个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？3，食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少3千克，用乙种桶装最后一桶只装了半桶油，用丙种桶装最后一桶少7千克。如果甲种桶每桶能装8千克，乙种桶每桶能装10千克，丙种桶每桶能装12千克，那么，食堂至少买回多少千克油？魔导师的传授3：一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，15颗15颗数多14颗，这盒棋子在150至200颗之间，问共有多少颗？高级魔兽场：双头熊1，有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵。这批树苗数在150至200之间，求共有多少棵树苗。2，五（1）班的五十多位同学去大扫除，平均分成4组多2人，平均分成5组多3人。请你算一算，五（1）班有多少位同学？3，有一批水果，每箱放30个则多20个，每箱放35个则少10个。这批水果至少有多少个？五年级奥数基础班讲义从课本到奥数--------阶梯教学法让乏味变有趣---------游戏化课堂常州南师校友培训中心（清凉校区）魔导师的传授4：从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？分析：从学校到少年宫的这段路长50×（37－1）=1800米，从路的一端开始，是50和60的公倍数处的那一根就不必移动。因为50和60的最小公倍数是300，所以，从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。1800÷300=6，就是6根不必移动。去掉最后一根，中途共有5根不必移动。高级魔兽场：六指魔1，插一排红旗共26面。原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？2，一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米。原来每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。如果两端不算，中间有几棵不必移动？3，学校开运动会，在400米环形跑道边每隔16米插一面彩旗，一共插了25面。后来增加了一些彩旗，就把彩旗间隔缩短了，起点彩旗不动，重新插完后发现一共有5面彩旗没动。问：现在彩旗的间隔是多少米？魔导师的传授5：在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？分析与解答：因为10、12和15的最小公倍数是60，所以，设这根木棍长60厘米。三种颜色的标记分别把木棍分成的小段长是：60÷10=厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4厘米。因为5和6的最小公倍数是30，所以红黄两种标记重复的地方有60÷30－1=1处，另两种情况分别有2处和4处。因此，木棍总共被锯成：（10＋12＋15－2）－1－2－4=28段。高级魔兽场：巨灵虎1，用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿着这些红记号把木棍锯开，一共锯成多少小段？五年级奥数基础班讲义从课本到奥数--------阶梯教学法让乏味变有趣---------游戏化课堂常州南师校友培训中心（清凉校区）2，父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米。在120米内一共留下多少个脚印？3，在96米长的距离内挂红、绿、黄三种颜色的气球，绿气球每隔6米挂一个，黄气球每隔4米挂一个，。如果绿气球和黄气球重叠的地方就改挂一个红气球，那么，除两端外，中间挂有多少个红气球？魔导师的传授6：甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？分析：甲跑一圈需要600÷3=200（秒）乙跑一圈需要600÷4=150（秒）丙跑一圈需要600÷2=300（秒）。要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一不定期是200、150、300的最小公倍数，[200、150、300]=600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。高级魔兽场：剑齿兽一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米，至少经过几分钟后三人再次从原出发点同时出发？解：一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，那么骑完一圈需240÷8=30（秒）乙每秒行6米，骑完一圈需240÷6=40（秒）丙每秒行5米，骑完一圈需240÷5=48（秒），求至少经过几分钟后三人再次从原出发点同时出发，就是求30、40、48的最小公倍数是多少。即：[30、40、48]=240（秒），240秒=4分钟。答：至少经过4分钟后三人再次从原出发点同时出发.魔兽森林的历练1.两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？五年级奥数基础班讲义从课本到奥数--------阶梯教学法让乏味变有趣---------游戏化课堂常州南师校友培训中心（清凉校区）2.1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要经过多少分钟这三种路线的车再次同时发车？3.将长、宽、高分别为6㎝、4㎝、8㎝的长方体积木，叠成最小的正方体，最少要积木多少块？4.教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工。问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物（同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等）？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？5.一张长方形的纸，长为96厘米，宽为60厘米，把它裁成同样大小且边长为整厘米数的正方形而无剩余，问至少可以裁多少张？6.有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？五年级奥数基础班讲义从课本到奥数--------阶梯教学法让乏味变有趣---------游戏化课堂常州南师校友培训中心（清凉校区）7.加工机器零件，要经过三道工