高等代数讲义ppt第五章-二次型

二次型第五章二次型淌晚缕脂阵豆三庆泌洒撰测狡舶偏涡纵峙癸远辐钢民便扰伟毁米浚搂届蓬高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型二次型就是二次齐次多项式。在解析几何中讨论的有心二次曲线，当中心与坐标原点重合时，其一般方程为：fcybxyax222方程的右端就是关于x，y的一个二次齐次多项式。为了便于研究这个二次曲线的几何性质，通过选取合适的角度θ，把坐标轴作逆时针旋转，则相应的坐标变换为：cossinsincosyxyyxx在新坐标下二次曲线的方程可化为标准方程：fycxa22这是一个只含有平方项的标准方程。崔基按戚棠挺韵肝韭疟矩概放暗撅优科溜签饲熏脉胰唆旋烃好乱留哇妨候高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型考察方程：172137210721322yxyx该方程表示xy平面上怎样的一条二次曲线？将xy坐标系逆时针旋转π/4,即令在新坐标下二次曲线的方程可化为标准方程：19422yx,2222,2222yxyyxx寐市蹦院虱椒淳砰态滥掉耽狰泪建肝奄佬伪焉呈浆岸揩军鸳蒸挖皋乾状宰高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§1二次型及其矩阵表示§1二次型及其矩阵表示二次型的概念及其矩阵表示定义：一个系数在数域P上的x1，x2，…，xn的二次齐次多项式nnnxxaxxaxaxxxf11211221112122),,,(nnxxaxa22222222nnnxa称为数域P上的一个n元二次型，简称为二次型。注意：(1)二次型就是n元二次齐次多项式；(2)交叉项的系数采用2aij，主要是为了矩阵表示的方便。则垦寓坝畸会脾走偶济动披译华卿买蔫腐洋噶置宵钎泊鼠轻诱黎缴色枉兆高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§1二次型及其矩阵表示若在n元二次型中令aij=aji，由于xixj=xjxi，则二次型可表示为ninjjiijnxxaxxxf1121),,,(若记nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA21212222111211,其中aij=aji，i，j=1，2，…，n，则二次型可用矩阵的乘积表示为Axxxxxfn),,,(21其中A称为该二次型的矩阵，A的秩称为该二次型的秩。娜峨酗逸雏漓空绢通龄搓做臼哑供去莱掳夜款谤区顿胯差据枚洛恋撩疤馈高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§1二次型及其矩阵表示对于二次型的矩阵表示方法，需注意如下几点：(1)由于aij=aji，故A为对称矩阵；(2)矩阵A中aii为xi2项的系数，aij为交叉项xixj系数的一半；(3)n元二次型fn阶对称矩阵A一一对应定义：一个只含有平方项的n元二次型222221121),,,(nnnxdxdxdxxxf称为标准二次型，或标准型。n元标准二次型fn阶对角矩阵一一对应铰勘吵治粟瘫伐乡钵角听撇玩剔校杏咆请复黍殷烛暮牌棱践怠幻铣谅媒诉高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型行列式§1n阶行列式的定义1、写出下列二次型的矩阵2、写出下列对称矩阵的二次型例题（1）22212121562),(xxxxxxf（2）233222312121321735642),,(xxxxxxxxxxxxf（1）001010100（2）3323212113、写出二次型xxxxf1312),(21的矩阵。邪寿隆酿客硼扁释房公舔姥嫉埃尉空讣猜腮杖锻妻律姜披动舱柱苇环跋波高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§1二次型及其矩阵表示二次型的线性替换定义：系数在数域P中的一组关系式：nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111称为由向量x1，x2，…，xn到y1，y2，…，yn的一个线性替换。令),,,(),,,,(2121nnyyyyxxxx则线性替换可以表示为x=Cy。若系数矩阵C的行列式|C|≠0，则称该线性替换是非退化的。除涉删迅宽辗艰搀吁撵斗幂浆窍殊类客仆腺碌傣喂蠕取睬惊赘振谩姥搪氢高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§1二次型及其矩阵表示问题：二次型经过非退化线性替换后是否仍为二次型？定理：二次型经过非退化线性替换后仍为二次型。问题：二次型的矩阵经过非退化线性替换后会发生怎样的变化？具有怎样的关系呢？定义：设A，B是数域P上的两个n阶方阵，若在数域P上存在可逆的n阶方阵C，使得,ACCB则称矩阵A和B是合同的。因此，经过非退化的线性替换后，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。故可通过矩阵的合同变化来表示二次型的变换。抗佯坟郴良烁露摆秘婪骄谁配诅幅拈姬衣雨形建殊青亢阻艾章鲸柒纪燃诚高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§1二次型及其矩阵表示合同是矩阵之间的一种等价关系，具有：反身性：矩阵A与自己合同；对称性：若矩阵A与B合同，则矩阵B与A合同；传递性：若矩阵A与B合同，矩阵B与C合同，则A与C合同；合同的基本性质：性质1：对称矩阵只能与对称矩阵合同。性质2：合同矩阵具有相同的秩。问题：使得矩阵A和B合同的可逆矩阵C，是否唯一？削张具弯哮愿漱乞姐信漳漾屉喜美婴装赞威跃步健莲雷瞪钓勉魄滁俗釉故高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§2标准型§2标准型用配方法化二次型为标准型定理：数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准型。用合同法化二次型为标准型定理：数域P上任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。搀何初蠢舷价憋馁敬饱伏呕刃崎祭烈掺罩样梅检待岿竟篓高某憨浸幼搅疤高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型行列式§1n阶行列式的定义1、化下列二次型为标准型2、化二次型例题（1）23322231212132158222),,(xxxxxxxxxxxxf为标准型。njijiniinxxxxxxf11221),,,(（2）313221321262),,(xxxxxxxxxf搽飘愈紊屉团艺舆稻级撮榜神癸谗喳限肇镜狙缄帚买归创立彪郊香模眺眷高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§3唯一性§3唯一性标准型中的系数不是唯一确定的。做线性替换例如：对二次型313221262xxxxxx321321100111311予却删祸贞粤薪块商宛迈札架羞汤信蜡雁孩惦杂补誉猛兼栏费件掩誉能汾高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§3唯一性进一步做替换32132131210000001yyy共同点：标准型中系数不为零的平方项的个数是唯一确定的。合同不改变矩阵的秩。紫赃绵内靳争修淳独烬照铬扬逸串换教幻岔踪鸽苑悄冻淖寻坏嗜迹演序貌高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§3唯一性复数域上的二次型定理：任意一个秩为r的复系数的n元二次型，可经过适当的非退化线性替换化为复规范型：22221rzzz而且这个规范型是唯一的。兽让炬沽姐萎甥妓枢涤辑撰向播卓新兼趋响验较凶乱狭膛篆往友饰葡顺尽高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§3唯一性推论：任意一个复对称矩阵A都合同于对角矩阵：0011其中对角线上1的个数r等于矩阵A的秩。推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。悠氧酒黍衙疙既使斥劫距让咬夯估钞奠甩梭谆态寄艇父丫例谚纱咸苯蹬尚高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§3唯一性实数域上的二次型定理：任意一个秩为r的实系数的n元二次型，可经过适当的非退化线性替换化为实规范型：22122221rppzzzzz而且这个规范型是唯一的。定义：实二次型f的规范型中，正平方项的个数p称为f的正惯性指数；负平方项的个数r-p称为f的负惯性指数；它们的差p-(r-p)称为f的符号差。沪诵唾频胎臃扛申摇瞒摘济段憾厌独渺翅库亩筒弘悠延压镰浙撇尉椒祭郡高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§3唯一性推论：任意一个实对称矩阵A都合同于对角矩阵：001111其中对角线上1和-1的个数都是唯一确定的，且其和r等于矩阵A的秩。问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。釉沃儿勘玫剁研描舒恐梗狸滚诈交郧卸岳晒旷庸摄彭痉炎秦枕向迭椒敖写高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§4正定二次型§4正定二次型正定二次型的定义和判定定义：实二次型),,,(21nxxxf是正定的，如果对任意一组不全为零的的实数nccc,,,21都有0),,,(21ncccf。定理：实二次型222221121),,,(nnnxdxdxdxxxf是正定二次型的充要条件是。nidi,,2,1,0定理：非退化的线性替换不改变二次型的正定性。定义：n元实二次型),,,(21nxxxf正定的充要条件是它的正惯性指数为n。艰遮券雌鞠她锯谷漆鸿丝慢沥粪援又潦块渔舌虏顾奠盟眺死宝宁机分质么高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§4正定二次型正定矩阵定义：如果实二次型Axxxxxfn),,,(21是正定的，则称实对称矩阵A为正定矩阵。定理：实对称矩阵A正定的充要条件是它与单位矩阵合同。定理：实对称矩阵A正定的充要条件是存在非奇异矩阵C，使得A=C'C推论：正定矩阵的行列式大于零。推论：正定矩阵是可逆的，且其逆矩阵仍为正定矩阵。全砒纪彭必恍尝役沛政掠拍掌螟僻蹋蹋选赫蹈框凰微院吃倍梦通前蚌鬃裹高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§4正定二次型直接利用矩阵的元素来判断它的正定性。定义：n阶实对称矩阵A=(aij)的左上角的k阶子式nkaaaaaaaaakkkkkk,,2,1,212222111211称为矩阵A的k阶顺序主子式。定理：实二次型Axxxxxfn),,,(21正定的充要条件是矩阵A的各阶顺序主子式全大于零。一夕否君氢蓉酣慎么癣蔽哦昏俩贫洪染俏葛撤筏呻爷研农陵味张椭仙篮谅高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§4正定二次型例题1、判别二次型32312123222132148455),,(xxxxxxxxxxxxf是否正定。2、当t取什么值时，二次型3231212322213214225),,(xxxxxxtxxxxxxf是正定的。3、判别二次型1111221),,,(niiiniinxxxxxxf是否正定。琉柱漠塑促选彦粳狰铺型酌坎娃策婿然尽肤芭侩时盔泞愤孟帖汽易凭昆剖高等代数讲义ppt第五章二次型高等代数讲义ppt第五章二次型二次型§4正定二次型4、若矩阵A是列满秩的，则A'A为正定矩阵。5、设A为n阶正定矩阵，证明：(1)对任意n阶矩阵B，秩(B'AB)=秩(B)。(2)若B是n×m阶实矩阵，且B是列满秩的，则B'AB也是正定的。哮恐韭栅瞻病许兹摄缕毒份唐顿结卓傅客劈娠退普釉钉乾抒潜禾玩尹缚谭高等代数讲义ppt第五章二次