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第1讲计数原理与排列组合第九章概率与统计1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.3.理解排列、组合的概念.4.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.5.能解决简单的实际问题.1.分类加法原理与分步乘法原理m1·m2·…·mn(1)分类加法原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.(2)分步乘法原理：做一件事，完成它要分成n个步骤，缺一不可，在第一个步骤中有m1种不同的方法，在第二个步骤中有m2种不同的方法，…，在第n个步骤中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________________种不同的方法.2.排列与排列数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示，且Amn＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝___________.(3)Ann＝______，0！＝______.n！(n－m)！n！13.组合与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cmn表示，且Cmn＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！.(3)C0n＝______，Cmn＝________，Cmn＋Cm－1n＝________.1Cn－mnCmn＋11.(2014年辽宁)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何2人不相邻的坐法种数为()DBA.144种C.72种B.120种D.24种2.(2014年四川)6个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A.192种C.240种B.216种D.288种3.(2018年新课标Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种.(用数字填写答案)________种.(用数字作答)164804.6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有解析：C36－C34＝16.考点1排列问题例1：7位同学站成一排：(1)共有多少种不同的排法？(2)站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？(3)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(4)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)甲、乙不能站在两端的排法共有多少种？(6)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(7)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(8)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？(9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(10)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(11)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？(12)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？(13)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？(14)甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两同学也不能相邻的排法共有多少种？(15)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？(16)甲、乙两人中间恰好有3人的不同排法共有多少种？解：7位同学站成一排：(1)共有A77＝5040种不同的排法；(2)站成两排(前3后4)，共有A77＝5040种不同的排法；(3)其中甲站在中间的位置，共有A66＝720种不同的排法；(4)甲、乙只能站在两端的排法共有A22A55＝240种；(5)甲、乙不能站在两端的排法共有A25A55＝2400种；(6)甲不排头、乙不排尾的排法共有：方法一，甲排尾，共有A66种不同的排法；甲不排尾，共有A15A15A55种不同的排法；故共有A66＋A15A15A55＝3720种不同的排法；方法二，7位同学站成一排，共有A77种不同的排法；甲排头，共有A66种不同的排法；乙排尾，共有A66种不同的排法；甲排头且乙排尾，共有A55种不同的排法；故共有A77－2A66＋A55＝3720种不同的排法.(7)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法.所以这样的排法一共有A66A22＝1440种.(8)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有：方法同上，一共有A55A33＝720种.(9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：方法一，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A25种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A22种方法.所以这样的排法一共有A25A44A22＝960种方法.方法二，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，方法三，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置若丙站在排头或排尾有2A55种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A66－2A55)·A22＝960种方法.选择共有A14种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有A14A55A22＝960种方法.(10)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：方法一，(排除法)A77－A66·A22＝3600种.方法二，(插空法)先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A26种方法，所以一共有A55A26＝3600种方法.(11)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有：先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A35种方法，所以一共有A44A35＝1440种.(12)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有：7位同学站成一排，共有A77种不同的排法；甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有A55A33＝720种.故共有A77－A55A33＝4320种不同的排法.(13)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有：A22A55A14＝960种.(14)甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两同学也不能相邻的排法共有：7位同学站成一排，共有A77种不同的排法；甲、乙两同学相邻，一共有A66A22＝1440种；甲、丙两同学相邻，一共有A66A22＝1440种；甲、乙和丙三个同学都相邻且甲在乙和丙的中间，一共有A55A22种；故共有A77－2A66A22＋A55A22＝2400种不同的排法.(15)7位同学站成一排，共有A77种不同的排法，甲必须站在乙的左边的不同排法共有A772＝2520种.(16)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲乙两人，有A22种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有A35种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A33种方法.故共有A22A35A33＝720种.【规律方法】(1)对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：①某些元素不能在或必须排列在某一位置；②某些元素要求连排(即必须相邻)；③某些元素要求分离(即不能相邻).(2)基本的解题方法：①有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素(位置)法(优先法)；②某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；③某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；④在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基.【互动探究】D1.(2017年新课标Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种解析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份有C24种方法，然后进行全排列A33即可，由乘法原理，不同的安排方式共有C24×A33＝36种方法.故选D.2.将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有()A.240B.480C.720D.960解析：A44×A25＝480.B考点2组合问题例2：从4名男同学和3名女同学中，选出3人参加学校的某项调查，求在下列情况下，各有多少种不同的选法？(1)无任何限制；(2)甲、乙必须当选；(3)甲、乙都不当选；(4)甲、乙只有一人当选；(5)甲、乙至少有一人当选；(6)甲、乙至多有一人当选.思维点拨：此题不讲究顺序，故采用组合数.解：(1)C37＝35.(2)C15＝5.(3)C35＝10.(4)C12C25＝20.(5)直接法，有两种情况：甲、乙两人都当选和甲、乙只有一人当选，则C15＋C12C25＝25.间接法，甲、乙至少有一人当选的对立事件为甲、乙都不当选，则C37－C35＝25.(6)直接法，有两种情况：甲、乙两人都不当选和甲、乙只有一人当选，则C35＋C12C25＝30.间接法，甲、乙至多有一人当选的对立事件为甲、乙都当选，则C37－C15＝30.【规律方法】组合问题常有以下两类题型变化：①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；②“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”或“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【互动探究】753.某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门.学校规定，每位同学选修4门，共有_______种不同的选修方案(用数值作答).解析：第一类若从A，B，C三门选一门有C13·C36＝60种；第二类若从其他六门选4门有C46＝15种.∴共有60＋15＝75种不同的方法.考点3排列组合中的平均分配问题例3：六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)平均分成三堆，每堆两本；(2)平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；(3)一堆一本，一堆两本，一堆三本；(4)甲得一本，乙得两本，丙得三本；(5)一人得一本，一人得两本，一人得三本.解：(1)C26·C24·C22A33＝15.(2)C26·C24·C22＝90.(3)C16·C25·C33＝60.(4)C16·C25·C33＝60.(5)C16·C25·C33·A33＝360.【规律方法】解决分组分配问题的策略：(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数.(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数.(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.Ann【互动探究】C4.现安排4名老师到3所不同的学校支教，每所学校至少安排一名老师，其中甲、乙两名老师分别到不同的学校的安排方法有()A.42种B.36种C.30种D.25种解析：C24×A33－C22×A33＝30.5.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校