导数及其应用

学习目标1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.5.掌握定积分的基本性质及应用．知识点一导数的概念(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，表示为f′(x0)，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．知识点二基本初等函数的导数公式(1)c′＝0.(2)(xα)′＝αxα－1.(3)(ax)′＝axlna(a0)．(4)(ex)′＝ex.(5)(logax)′＝(lnxlna)′＝1xlna(a0，且a≠1)．(6)(lnx)′＝1x.(7)(sinx)′＝cosx.(8)(cosx)′＝－sinx.知识点三导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)[fxgx]′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．知识点四复合函数的求导法则(1)复合函数记法：y＝f(g(x))．(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)．(3)逐层求导法则：yx′＝yu′·ux′.知识点五函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．(2)函数的极值与导数①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当xa时，f′(x)0，当xa时，f′(x)0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，f′(x)0，当xa时，f′(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．知识点六微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃbaf(x)dx＝F(b)－F(a)．知识点七定积分的性质(1)ʃbakf(x)dx＝kʃbaf(x)dx(k为常数)．(2)ʃba[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃbaf1(x)dx±ʃbaf2(x)dx.(3)ʃbaf(x)dx＝ʃcaf(x)dx＋ʃbcf(x)dx(其中acb)．类型一导数几何意义的应用例1设函数f(x)＝13x3＋ax2－9x－1(a0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．(1)求a的值；(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．解(1)f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，f′(x)min＝－a2－9，由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去)．故a＝1.(2)由(1)得a＝1，∴f′(x)＝x2＋2x－9，则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，即6x－y－28＝0.反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由y0－y1x0－x1＝f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型．跟踪训练1直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝.答案－15解析由题意知f(2)＝3，则a＝－3.f(x)＝x3－3x＋1.f′(2)＝3×22－3＝9＝k，又点(2,3)在直线y＝9x＋b上，∴b＝3－9×2＝－15.类型二函数的单调性、极值、最值问题例2设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当aln2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.于是对任意x∈R，都有g′(x)0，所以g(x)在R内单调递增．于是当aln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)0，即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.反思与感悟本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力．跟踪训练2已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)x，其中a0.(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．解(1)当a＝－4时，由f′(x)＝25x－2x－2x＝0(x0)，得x＝25或x＝2.由f′(x)0，得x∈(0，25)或x∈(2，＋∞)，故函数f(x)的单调递增区间为(0，25)和(2，＋∞)．(2)因为f′(x)＝10x＋a2x＋a2x，a0，由f′(x)＝0，得x＝－a10或x＝－a2.当x∈(0，－a10)时，f(x)单调递增；当x∈(－a10，－a2)时，f(x)单调递减；当x∈(－a2，＋∞)时，f(x)单调递增，易知f(x)＝(2x＋a)2x≥0，且f(－a2)＝0.①当－a2≤1，即－2≤a0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±22－2，均不符合题意．②当1－a2≤4，即－8≤a－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(－a2)＝0，不符合题意．③当－a24，即a－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4上取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8，得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．综上，a＝－10.类型三生活中的优化问题例3某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为－13x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．解(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，所以当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)．由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)＝(－13x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－13x3＋4x＋3(0≤x≤3)，所以g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又当0≤x2时，g′(x)0；当2x≤3时，g′(x)0.故g(x)在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数，所以当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，可使该公司获得的收益最大．反思与感悟解决优化问题的步骤(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．(3)验证数学问题的解是否满足实际意义．跟踪训练3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时，该蓄水池的体积最大．解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得，200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝15r(300－4r2)．从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r0，又由h0，可得r53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，故V′(r)＝π5(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．类型四定积分与微积分基本定理例4(1)设f(x)＝x3，x∈[0，1，3－2x，x∈[1，2]，则ʃ20f(x)dx＝.答案14解析ʃ20f(x)dx＝ʃ10x3dx＋ʃ21(3－2x)dx＝14x4|10＋(3x－x2)|21＝14.(2)如图所示，直线y＝kx将抛物线y＝x－x2与x轴所围图形的面积分为相等的两部分，求k的值．解抛物线y＝x－x2与x轴的两交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围图形的面积S＝ʃ10(x－x2)dx＝(x22－x33)|10＝12－13＝16.抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标分别为x1′＝0，x2′＝1－k，所以S2＝ʃ1－k0(x－x2－kx)dx＝(1－k2x2－x33)|1－k0＝16(1－k)3，又知S＝16，所以(1－k)3＝12，于是k＝1－312＝1－342.反思与感悟由定积分求曲边梯形面积的方法步骤(1)画出函数的图象，明确平面图形的形状．(2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标．(3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和．跟踪训练4执行如图所示的程序框图，则输出的T的值为．答案1161．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋32bx＋c3的单调递增区间是()A．(－∞，2]B．[12，＋∞)C．[－2,3]D．[98，＋∞)答案D解析不妨取a＝1，又d＝0，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c