结构动力学之两自由度体系的自由振动

COMPANYNAMEm)(xy第七讲两自由度体系的自由振动工程学院海洋工程系刘臻结构动力学多自由度体系2013/12/17多层房间的侧向振动、不等高排架的振动、块式基础的水平回转振动等，作为多自由度体系进行分析。（multi-degreeoffreedomsystem）多自由度体系2013/12/17对具有无限个自由度的弹性结构，精确地处理其振动问题：有时是非常困难的，在某些情况下也并不必要。在某些特定条件下可对问题作一些简化假定，使一个无限自由度体系离散为有限多个自由度体系，使原来的问题变得容易求解，能获得原结构体系的主要属性和特征。两自由度体系2013/12/17针对两个自由度体系；介绍三种常用求解的方法：平衡力系法刚度法柔度法平衡力系法2013/12/17如图，两集中质量和通过三个弹簧、和相相互联结，在任意一时刻它们偏离其平衡位置的水平位移分别为和1m2m1k2k3k)(1ty)(2ty2013/12/17平衡力系法23122221221111yk)yy(kym)yy(kykym根据两质量块的平衡条件，可以得到：2013/12/17表示成矩阵形式：0023212222212111y)kk(ykymyky)kk(ym式中：整理：1221223200kkkmMKkkkm平衡力系法0yKyMTTy,yy,y,yy21212013/12/17平衡力系法写成一般形式：0021222112112122211211yykkkkyymmmm对于图中结构体系，有11122212211112222312212,,0,,mmmmmmkkkkkkkkk2013/12/17平衡力系法假设两个质点为简谐振动，上式的解设为：)sin()()sin()(2211tYtytYty位移振幅和，以及频率和相位角均为待定参数。1Y2Y0021222112112122211211yykkkkyymmmm2013/12/17平衡力系法1）、在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角。常数2121)()(YYtyty)sin()()sin()(2211tYtytYty2）、在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但两者的比值始终保持不变：2013/12/17两自由度体系的自由振动主振型:结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振动模态（normalmode）。00222121222212111121YkYkmYYkYkmY)sin(t0021222112112122211211yykkkkyymmmm)sin()()sin()(2211tYtytYty2111112222112222()0()0kmYkYkYkmY2013/12/17齐次方程有非零解的条件为其系数行列式等于零，即:0222221121211mkkkmkD00222121222212111121YkYkmYYkYkmY确定了固有频率应满足的条件，称为频率方程或特征方程。（eigenequationorcharacteristicequation）利用这个方程可计算固有频率两自由度体系的自由振动2013/12/172121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk展开上式，求得的两个根为:2正实根，仅依赖于结构体系的物理性质，即质量和弹簧刚度。0222221121211mkkkmkD两自由度体系的自由振动2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk12具有两个自由度的体系共有两个自振频率，表示其中最小的圆频率，称为第一圆频率或基本圆频率（fundamentalfrequency）；称为第二圆频率。2013/12/17两自由度体系的自由振动比值所确定的振动形式就是与第一圆频率相应的振型，称为第一振型或基本振型（fundamentalmode）21/YY1121111122022112222()0()0DkmYkYkYkmY分析频率各自对应的振型(1)112(1)221111YkYkm2013/12/17两自由度体系的自由振动和表示第二振型中质点1和2的振幅。1221112)2(2)2(1mkkYY)2(1Y)1(2Y1m2m)1(2)1(1/YY)2(2)2(1/YY下标与质量和相对应，上标表示模态号码。(1)112(1)221111YkYkm由于模态方程是齐次的，所以及只有相对关系。2013/12/17两自由度体系的自由振动主振动:结构体系以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为体系的主振动。)sin()sin()()sin()sin()(22)2(2211)1(21222)2(1211)1(111tYAtYAtytYAtYAty各点同时经过静平衡位置，并同时到达最大偏移位置，以确定的频率和振型作简谐振动。一般情况下，体系的自由振动不是主振动，而是两种不同频率及其振型的组合振动:2013/12/17两自由度体系的自由振动方程的全解:0023212222212111y)kk(ykymyky)kk(ym)sin()sin()()sin()sin()(22)2(2211)1(21222)2(1211)1(111tYAtYAtytYAtYAty1A122A其中，、、和由初始条件确定。2013/12/17两自由度体系的自由振动(a)具有两个集中质量的结构体系，两个自由度(b)为和的隔离体图。1m2m00222111rymrym根据达朗伯原理，平衡方程为：2013/12/17刚度法2013/12/17刚度法弹性力和是质量和与结构之间的相互作用力，图(b)中的和是质点所受的力，图(c)中的和是结构所受的力，两者的方向相反。结构所受的力和与结构的位移和之间应满足如下刚度方程:1m2m1r2r1y2y1r2r2r1r22212122121111ykykrykykr1r2r2013/12/17刚度法是结构的刚度系数。如是使质点2产生单位位移而质点1保持为零时在质点所需施加的作用力。ijk12k002221212221211111ykykymykykym22212122121111ykykrykykr00222111rymrym2013/12/17刚度法00222111rymrym22212122121111ykykrykykr002221212221211111ykykymykykym2013/12/17刚度法以两个自由度体系为例进行分析:2013/12/17柔度法用柔度法建立自由振动微分方程的思路:在自由振动过程中的任一时刻，质量和的位移和应当等于体系在惯性力和作用下所产生的静力位移。t1m2m)(1ty)(2ty11ym22ym222221112122211111ymym)t(yymym)t(y2013/12/17柔度法是结构体系的柔度系数(flexibilitycoefficient)，即体系在点j承受单位力时，在点i产生的位移。ijj)sin()()sin()(2211tYtytYty)sin(t222221112122211111ymym)t(yymym)t(y设解的形式为:2013/12/17柔度法2222221112212222111121)()()()(YmYmYYmYmY),(21YY),(222112YmYm主振型的位移幅值就是结构体系在此主振型惯性力幅值作用下所引起的静力位移。2013/12/17柔度法0)1(0)1(222221121221212111YmYmYmYm令系数行列式等于零，可得到和的非零解，即:1Y2Y01122221212122111mmmmD2222221112212222111121)()()()(YmYmYYmYmY用柔度系数表示的频率方程或特征方程。2013/12/17柔度法2)(4)()(2)(4)()(212112221122221112221112212112221122221112221111mmmmmmmmmmmm求得固有圆频率的两个值为:1112212101122221212122111mmmmD解出的两个根2013/12/17柔度法体系的第一阶主振型:21111212)1(2)1(11mmYY0)1(0)1(222221121221212111YmYmYmYm12013/12/17柔度法体系的第二阶主振型:0)1(0)1(222221121221212111YmYmYmYm222111212)2(2)2(11mmYY2013/12/17柔度法总结：在多自由体系自由振动问题中4）体系的自振频率和主振型是体系本身的固有性质。自振频率只与体系本身的刚度系数和质量分布有关，与外荷无关。3）每个自振频率有其相应的主振型；2）振动频率个数与自由度个数一致，自振频率可通过特征方程计算；1）主要问题是确定体系全部自振频率及其相应主振型2013/12/17两自由度体系的自由振动例3-1试分析图示结构体系的固有频率和振型。已知：。kkkkmmm32121,0202212211kykyymkykyym解：体系的运动方程为：0023212222212111y)kk(ykymyky)kk(ym2013/12/17课后练习0202212211kykyymkykyym)sin()()sin()(2211tYtytYty体系的运动方程为：设方程的解为：0222122YYmkkkmk2013/12/17课后练习上式有非零解的条件是系数行列式为零：0222122YYmkkkmk02222mkkkmk2/122/113,mkmk展开行列式，可以求得2013/12/17课后练习计算振型：11221)1(2)1(1)1(mkkYYY11222)2(2)2(1)2(mkkYYY)1(Y)2(1,Y2其中对应于第一阶频率对应于第二阶频率。0222122YYmkkkmk2013/12/17课后练习第