高中数学平面向量-综合测试题

1平面向量综合测试题（时间：120分钟满分：150分）学号：______班级：______姓名：______得分：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.向量a，b，c，实数λ,下列命题中真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c2．已知向量a＝(1,0)与向量b＝(－1，3)，则向量a与b的夹角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π63.设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()A.PA→＋PB→＝0B.PC→＋PA→＝0C.PB→＋PC→＝0D.PA→＋PB→＋PC→＝04．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝()A．－2B．2C．－12D.125．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．06．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为()A.322B.3152C．－322D．－31527.已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()2A．[0，π6]B．[π3，π]C．[π3，2π3]D．[π6，π]8.已知向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的取值范围为()A．[1,2]B．[2,4]C.14，12D.12，19.下列命题中正确的个数是()①若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b的方向相同；②若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e；③a·a·a＝|a|3；④若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线；⑤若平面内有四点A，B，C，D，则必有AC→＋BD→＝BC→＋AD→.A．1B．2C．3D．410．已知向量a＝(x＋1,1)，b＝(1，y－2)，且a⊥b，则x2＋y2的最小值为()A.13B.23C.12D．111．若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A．2B.2C．1D.2212．设a,b是两个非零向量，下列结论一定成立的是()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|等于________．14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.315．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.16．在△ABC中，若∠A＝120°，AB→·AC→＝－1，则|BC→|的最小值是________．三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（10分）已知O、A、B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0r，(1)用OA→、OB→表示OC→；(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．18．（10分）设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若OA→＝2a－b，OB→＝3a＋b，OC→＝a－3b，求证：A，B，C三点共线．(2)若AB→＝a＋b，BC→＝2a－3b，CD→＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．19．（10分）已知向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求3a＋b－2c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.20．（10分）已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求点D的坐标与|AD→|．21．（10分）已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b的方向上的投影为－1，求(1)a与b的夹角θ；(2)(a－2b)·b.22.（10分）已知a＝(3，－1)，b＝13,22，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求k＋t2t的最小值．参考答案4一、选择题1~6BCBCDA7~12BDACBC提示：1.若a·b＝0，表明a，b垂直，并不是a＝0或b＝0；若a2＝b2，表明|a|2＝|b|2，并不是a＝b或a＝－b；若a·b＝a·c，则有|a||b|cosα＝|a||c|cosβ，α，β分别是向量a，b和c，a的夹角，不只会是b＝c.故只有B正确．2.cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－11·2＝－12.所以〈a，b〉＝2π3.3.由BC→＋BA→＝2BP→知，点P是线段AC的中点，则PC→＋PA→＝0.4.由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得mn＝－12.5.因为a⊥c，所以a·c＝0，又因为a∥b，则设b＝λa，所以c·(a＋2b)＝(1＋2λ)c·a＝0.6．AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，向量AB→＝(2,1)在CD→＝(5,5)上的投影为|AB→|cos〈AB→，CD→〉＝|AB→|AB→·CD→|AB→||CD→|＝AB→·CD→|CD→|＝1552＝322，故选A.7．Δ＝|a|2－4a·b＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|2－8|b|2·cos〈a，b〉≥0.所以cos〈a，b〉≤12，〈a，b〉∈[0，π]．所以π3≤〈a，b〉≤π.8．由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2，1－|b|cosθ－2|b|2＝0，所以cosθ＝1－2|b|2|b|，因为－1≤cosθ≤1，所以－1≤1－2|b|2|b|≤1，所以12≤|b|≤1.9.易知①②③④均错误，⑤正确，因为AC→＋BD→＝BC→＋AD→，所以AC→－AD→＝BC→－BD→，即DC→＝DC→，所以⑤正确．10.因为a⊥b，所以a·b＝0，即x＋1＋y－2＝0，整理得x＋y＝1，所以x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2x－122＋12≥12，所以x2＋y2的最小值为12.11．因为(a＋b)⊥a，|a|＝1，所以(a＋b)·a＝0，所以|a|2＋a·b＝0，所以a·b＝－51.又因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0.所以2a·b＋|b|2＝0.所以|b|2＝2.所以|b|＝2，选B.12.利用排除法可得选项C是正确的，因为|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb.选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D；若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．二、填空题13.514.－115.516.6提示：13．因为|a＋b|＝52，所以(a＋b)2＝50，即a2＋b2＋2a·b＝50，又|a|＝5，a·b＝10，所以5＋|b|2＋2×10＝50.解得|b|＝5.14．由题意知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1.15．|b|＝22＋12＝5，由λa＋b＝0，得b＝－λa，故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝|b||a|＝51＝5.16．因为AB→·AC→＝－1，所以|AB→|·|AC→|cos120°＝－1，即|AB→|·|AC→|＝2，所以|BC→|2＝|AC→－AB→|2＝AC→2－2AB→·AC→＋AB→2≥2|AB→|·|AC→|－2AB→·AC→＝6，所以|BC→|min＝6.三、解答题17.解：(1)2AC→＋CB→＝0r，2(OC→－OA→)＋(OB→－OC→)＝0r.2OC→－2OA→＋OB→－OC→＝0r，所以OC→＝2OA→－OB→.(2)如图，DA→＝DO→＋OA→＝－12OB→＋OA→＝12(2OA→－OB→)，故DA→＝12OC→，故四边形OCAD为梯形．18．(1)证明：AB→＝OB→－OA→＝a＋2b，6AC→＝OC→－OA→＝－a－2b.所以AC→＝－AB→，又因为A为公共点，所以A、B、C三点共线．(2)解;AC→＝AB→＋BC→＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b，因为A,C,D三点共线，所以AC→与CD→共线．从而存在实数λ使AC→＝λCD→，即3a－2b＝λ(2a－kb)，得3＝2λ，－2＝－λk，解得λ＝32，k＝43，所以k＝43.19．解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．(2)因为a＝mb＋nc，所以(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．所以－m＋4n＝3，2m＋n＝2，解得m＝59，n＝89.(3)因为(a＋kc)∥(2b－a)，a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)．所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，所以k＝－1613.20．解：设D点坐标为(x，y)，则AD→＝(x－2，y＋1)，BC→＝(－6，－3)，BD→＝(x－3，y－2)，因为D在直线BC上，即BD→与BC→共线，所以存在实数λ，使BD→＝λBC→，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．所以x－3＝－6λ，y－2＝－3λ，所以x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①7又因为AD⊥BC，所以AD→·BC→＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0.所以－6(x－2)－3(y＋1)＝0.②由①②可得x＝1，y＝1.所以D(1,1)．|AD→|＝1－22＋22＝5，21.解：(1)由题意知，|a|＝2，|b|＝1，|a|cosθ＝－1，所以a·b＝|a||b|cosθ＝－|b|＝－1，所以cosθ＝a·b|a||b|＝－12.由于θ∈[0，π]，所以θ＝2π3即为所求．(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.22.解：因为a＝(3，－1)，b＝13,22，所以|a|＝3212＝2，|b|＝221322＝1，所以a·b＝3×12＋(－1)×32＝0，故有a⊥b.由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－kt2＋3k)a·b＝0.所以－k|a|2＋(t3－3t)|b|2＝0.将|a|＝2，|b|＝1代入上式，得－4k＋t3－3t＝0.所以k＝t3－3t4，所以k＋t2t＝14(t2＋4t－3)＝14(t＋2)2－74.故当t＝－2时，k＋t2t有最小值－74.