专题一三角函数专题

专题一三角函数专题【命题趋向】该专题的内容包括三角函数的图象与性质、平面向量、简单的三角恒等变换、解三角形．高考在该部分的选择和填空题，一般有两个试题。一个试题是，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正余弦定理有关的题目，如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能是一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的题目；一个试题是以考查平面向量为主的试题，这个试题的主要命题方向是（1）以平面向量基本定理、共线向量定理为主，（2）以数量积的运算为主；三角函数解答题的主要命题方向有三个：（1）以三角函数的图象和性质为主体的解答题，往往和平面向量相结合；（2）以三角形中的三角恒等变换为主题，综合考查三角函数的性质等；（3）以实际应用题的形式考查正余弦定理、三角函数知识的实际应用．【考点透析】该专题的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．【例题解析】题型1三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．例1若x是三角形的最小内角，则函数sincossincosyxxxx的最大值是（）A．1B．2C．122D．122分析：三角形的最小内角是不大于3的，而2sincos12sincosxxxx，换元解决．解析：由03x，令sincos2sin(),4txxx而74412x，得12t．又212sincostxx，得21sincos2txx，得2211(1)122tytt，有2(2)11102222y．选择答案D．点评：涉及到sincosxx与sincosxx的问题时，通常用换元解决．解法二：1sincossincos2sinsin242yxxxxxx，当4x时，max122y，选D。例2．已知函数2()2sincos2cosfxaxxbx．，且(0)8,()126ff．（1）求实数a，b的值；（2）求函数)(xf的最大值及取得最大值时x的值．分析：待定系数求a，b；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．解析：函数)(xf可化为()sin2cos2fxaxbxb．（1）由(0)8f，()126f可得(0)28fb，33()12622fab，所以4b，43a．（2）()43sin24cos248sin(2)46fxxxx，故当2262xk即()6xkkZ时，函数fx取得最大值为12．点评：结论22sincossinabab是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．题型2三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数πcos23yx的图象，只需将函数sin2yx的图象A．向左平移5π12个长度单位B．向右平移5π12个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决．解析：函数π55cos2sin2sin2sin2332612yxxxx，故要将函数sin2yx的图象向左平移5π12个长度单位，选择答案A．例4（2008高考江西文10）函数tansintansinyxxxx在区间3(,)22内的图象是分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断．解析：函数2tan,tansintansintansin2sin,tansinxxxyxxxxxxx当时当时．结合选择支和一些特殊点，选择答案D．点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目．题型3用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决．例5（2008高考山东卷理5）已知π4cossin365，则7πsin6的值是A．235B．235C．45D．45分析：所求的7πsinsin()66，将已知条件分拆整合后解决．解析：C．4333434cossinsincossin6522565，所以74sinsin665．点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的数学思想和运算能力．解题的关键是对π4cossin365的分拆与整合．xo322yA2-xBo322y2-2xo322yC-xo322yD2-20090318例6（2008高考浙江理8）若cos2sin5,则tan=A．21B．2C．21D．2分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路．方法一：5sin5，其中12sin,cos55，即1tan2，再由sin1知道22kkZ，所以22k，所以sincos2tantan2tan222sincos2k．方法二：将已知式两端平方得2222222cos4cossin4sin55sincossin4sincos4cos0tan4tan40tan2方法三：令sin2cost，和已知式平方相加得255t，故0t，即sin2cos0，故tan2．方法四：我们可以认为点cos,sinM在直线25xy上，而点M又在单位圆221xy上，解方程组可得55255xy，从而tan2yx．这个解法和用方程组22cos2sin5sincos1求解实质上是一致的．方法五：只能是第三象限角，排除C．D．，这时直接从选择支入手验证，由于12计算麻烦，我们假定tan2，不难由同角三角函数关系求出255sin,cos55，检验符合已知条件，故选B．点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知1sincos,0,5，求tan的值（人教A版必修4第三章复习题B组最后一题第一问）”之类的题目，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力．题型4正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型．例7．（2008高考湖南理19）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45(其中26sin26，090)且与点A相距1013海里的位置C．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．分析：根据方位角画出图形，如图．第一问实际上就是求BC的长，在ABC中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点E到直线BC的距离，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决．解析：（1）如图，402AB2，1013AC，26,sin.26BAC由于090，所以226526cos1().2626由余弦定理得222cos105.BCABACABAC所以船的行驶速度为10515523（海里/小时）．（2）方法一：如上面的图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点,BC的坐标分别是1122,,,BxyCxy，BC与x轴的交点为D．由题设有，112402xyAB，2cos1013cos(45)30xACCAD，2sin1013sin(45)20.yACCAD所以过点,BC的直线l的斜率20210k，直线l的方程为240yx．又点0,55E到直线l的距离|05540|35714d，所以船会进入警戒水域．解法二：如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．在ABC中，由余弦定理得，222cos2ABBCACABCABBC=22240210510132402105=31010．从而2910sin1cos1.1010ABCABC在ABQ中，由正弦定理得，10402sin1040sin(45)2210210ABABCAQABC．由于5540AEAQ，所以点Q位于点A和点E之间，且15EQAEAQ．过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．在QPERt中，5sinsinsin(45)15357.5PEQEPQEQEAQCQEABC所以船会进入警戒水域．点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图．本题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错．题型5三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点．例8（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题）已知向量)1,(sin),2cos,cos2(xbxxa，（0），令baxf)(，且)(xf的周期为．(1)求4f的值；(2)写出fx在]2,2[上的单调递增区间．分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数fx的解析式求出来，再根据)(xf的周期为就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即可．解析：(1)xxxbaxf2cossincos2)(xx2cos2sin)42sin(2x，∵)(xf的周期为．∴1，)42sin(2)(xxf，12cos2sin)4(f．(2)由于)42sin(2)(xxf，当kxk224222（Zk）时，fx单增，即kxk883（Zk），∵x]2,2[∴fx在]2,2[上的单调递增区间为]8,83[．点评：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点．例9（2009江苏泰州期末15题）已知向量3sin,cosa，2sin,5sin4cosb，3,22，且ab．（1）求tan的值；（2）求cos23的值．分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问．解析：（1）∵ab，∴0ab．而3sin