高中数学三角函数专题专项练习(非常好)

1【三角函数疑难点拔】一、忽略隐含条件例3．若01cossinxx，求x的取值范围。正解：1)4sin(2x，由22)4sin(x得)(432442Zkkxk∴)(222Zkkxk二、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性例4．设、为锐角，且+120，讨论函数22coscosy的最值。错解)cos(211)cos()cos(1)2cos2(cos211y，可见，当1)cos(时，23maxy；当1)cos(时，21miny。分析：由已知得90,30，∴6060，则1)cos(21，∴当1)cos(，即60时，21miny，最大值不存在。三、忽视应用均值不等式的条件例5．求函数)20,0(sincos2222xbaxbxay的最小值。错解)12sin0(42sin4cossin2sincos)2()1(2222xabxabxxabxbxay，∴当12sinx时，aby4min分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。正解：2222222222222)(2)cottan()cot1()tan1(baabbaxbxabaxbxay，当且仅当xbxacottan，即abxtan，时，2min)(bay【经典题例】例4：已知b、c是实数，函数f(x)=cbxx2对任意α、βR有：,0)(sinf且,0)cos2(f（1）求f（1）的值；（2）证明：c3；（3）设)(sinf的最大值为10，求f（x）。[思路]（1）令α=2，得,0)1(f令β=，得,0)1(f因此,0)1(f；（2）证明：由已知，当11x时，,0)(xf当31x时，,0)(xf通过数形结合的方法可得：,0)3(f化简得c3；（3）由上述可知，[-1，1]是)(xf的减区间，那么,10)1(f又,0)1(f联立方程组可得4,5cb,所以45)(2xxxf例5：关于正弦曲线回答下述问题：（1）函数)43sin(log21xy的单调递增区间是？Zkkxk]348328[；（2）若函数xaxy2cos2sin的图象关于直线8x对称，则a的值是1；（3）把函数)43sin(xy的图象向右平移8个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数解析式子是)8sin(xy；例6：函数xxxxfcossin12sin)(，（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的最大值及对应的x值。2[思路]（1）{x|x222kxk且}Zk(2)设t=sinx+cosx,则y=t-142,12maxkxyZk例7：在ΔABC中，已知BACCAsin232cossin2cossin22（1）求证：a、b、c成等差数列；（2）求角B的取值范围。[思路]（1）条件等式降次化简得bcaBCA2sin2sinsin（2）,2182682)(32)2(cos22222acacacacaccaaccacaB∴……，得B的取值范围]3,0(14．设sincosx，且0cossin33，则x的取值范围是]2,0(；19．已知)2,0(x，证明不存在实数)1,0(m能使等式cosx+msinx=m(*)成立；（2）试扩大x的取值范围，使对于实数)1,0(m，等式(*)能成立；（3）在扩大后的x取值范围内，若取33m,求出使等式(*)成立的x值。提示：可化为1)42tan(xm（2）)2,2(x（3）6x最值问题典型错例例5.求函数yxxsincos1342的最大值和最小值。错解：原函数化为4902yxxysinsin，关于sinx的二次方程的判别式()144902yy，即112112y，所以yymaxmin112112，。剖析：若取y112，将导致sinx32的错误结论，此题错在忽视了隐含条件|sin|x1。正解：原函数化为4902yxxysinsin，当y0时，解得sinx0，满足sinx1当y0时，解得sinxyy1114482，又sin|sin|xRx，1，则有114401111448122yyy或114401111448122yyy，解得113113y，所以yymaxmin113113，难点化简与求值【例】已知2＜β＜α＜43,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.［例1］不查表求sin220°+cos280°+3cos20°cos80°的值.解法一：sin220°+cos280°+3sin220°cos80°=21(1－cos40°)+21(1+cos160°)+3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)=41解法二：设x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°，y=cos220°+sin280°－3cos20°sin80°，则3x+y=1+1－3sin60°=21，x－y=－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x=y=41，即x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°=41.［例2］关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=21的a值，并对此时的a值求y的最大值.解：由y=2(cosx－2a)2－2242aa及cosx∈［－1，1］得：f(a))2(41)22(122)2(12aaaaaa，∵f(a)=21,∴1－4a=21a=81［2,+∞)，故－22a－2a－1=21，解得：a=－1，此时，y=2(cosx+21)2+21，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.难点训练1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈(－2,2)，则tan2的值是()A.21B.－2C.34D.21或－23.设α∈(43,4)，β∈(0，4)，cos(α－4)=53，sin(43+β)=135，则sin(α+β)=_________.4.不查表求值:.10cos1)370tan31(100sin130sin25.已知cos(4+x)=53，(1217＜x＜47)，求xxxtan1sin22sin2的值.7.扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.8.已知cosα+sinβ=3，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y=10432log21xx的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场解法一：∵2＜β＜α＜43,∴0＜α－β＜4.π＜α+β＜43,∴sin(α－β)=.54)(sin1)cos(,135)(cos122∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135。解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21难点训练一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0。tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－2,2)∴α、β∈(－2,θ),则2∈(－2,0),又tan(α+β)=342tan12tan2)tan(,34)13(14tantan1tantan2又aa,整理得2tan222tan32=0.解得tan2=－2.答案：B43.解析：α∈(43,4),α－4∈(0,2),又cos(α－4)=53.6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(即答案：6556三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sinsincoscos)cos(sinsin2cossin1sin2cossin2tan1sin22sin54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos2sin,53)4cos(:.522xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx又解7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cosθ,sinθ)，则｜PS｜=sinθ.直线OB的方程为y=3x，直线PQ的方程为y=sinθ.联立解之得Q(33sinθ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－33sinθ。于是SPQRS=sinθ(cosθ－33sinθ)=33(3sinθcosθ－sin2θ)=33(23sin2θ－22cos1)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)=33sin(2θ+6)－63.∵0＜θ＜3,∴6＜2θ+6＜65π.∴21＜sin(2θ+6)≤1.∴sin(2θ+6)=1时，PQRS面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6，点P为的中点，P(21,23).8.解：设u=sinα+cosβ.则u2+(3)2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,设t=32x,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤5.x=232t..21,232,2,258log2log82log,0log.82,2,42.8224142142104325.05.05.0min5.0max2xxtyMMyMtttttttxxM此时时时是减函数在时即当且仅当[提高训练C组]一、选择题5新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆已知sinsin，那么下列命题成立的是（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@126.comwxckt@12