三角函数整理专题

课题1：两角和与差公式的应用一、【学习目标】1、熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式；2、利用公式进行三角函数式的化简和求值。二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式：（1）cos();（2）cos()；（3）sin();（4）sin()；（5）tan()；（6）tan()；辅助角公式：22sincossin()axbxabx，其中2222cos,sinababab三、例1.求值：（1）sin75（2）7cos12（3）tan105（4）cos20cos70sin20sin70（5）sin119sin181－sin91sin29（6）0013cos15sin1522（7）0022cos15sin1522例2.已知A、B均为钝角且510sin,sin510AB，求（1）)cos(BA；（2）A+B.例3.已知324，12cos()13，3sin()5.求sin2.【同类变式】1、求值：①1tan151tan15=②sin72cos42cos72sin42=③o15sin④015tan。2、已知、均为锐角，55sin，1010cos，求(1))sin(;(2).3、已知,,43，)sin(=,53,13124sin求cos44、若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，求tan(α＋π4)的值。【巩固提高】1、已知0απ2βπ，cosα＝35，sin(α＋β)＝－35，则cosβ的值为________．2、已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于________．3、已知cos3()45，sin512()413且β3(0,),(,)444，求sin(α+β).4、已知α、β∈(,)22，且tanα，tanβ是方程x2+33x+4=0的两个根，求α+β值。5、已知函数()sincosfxxx（1）求函数()fx的周期、单调区间；（2）若[,]4x求函数()fx的值域。课题2：倍角公式与其他三角公式应用一、【学习目标】1、熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式以及一些公式的变形；2、利用公式或变形形式进行三角函数式的化简和求值。二、1、二倍角的正弦、余弦、正切公式：（1）sin2（2）cos2==（3）tan22、公式的变形：降幂公式：2cos，2sin，cossin，2tan。三、例1.求值：（1）15cos15sin（2）8sin8cos22（3）5.22tan15.22tan22（4）52sincos11212(5)12cos24cos48cos48sin8例2.已知4sin5，并且在第二象限，求2sin、2cos、2tan的值。例3.已知函数21()(2cos1)sin2cos42fxxxx，（1）求()fx的最小正周期及最大值；（2）若(0,),4x求函数()fx的值域。【同类变式】1、求值（1）2sin2cos44（2）tan11tan11（3）2coscos212（4）35coscoscoscos1288122、若已知23，且43tan，求2sin、2cos、2tan的值。3、已知函数2()cossincosfxxxx（1）求()fx的最小正周期及最小值；（2）若(,),42且326()84f，求cos的值。【巩固提高】1、若270°＜α＜360°，则2cos21212121=2、已知2sincos3xx，则sin2x________.3、化简：（1）2＋2cos8＋21－sin8（2）2cos22cot()cos()44xxx4、已知α为锐角，且21tan，求2cos2sinsincos2sin的值.5、已知10,sincos25xxx.（1）求sincosxx的值.（2）求223sin2sincoscos2222tancotxxxxxx的值.课题3：倍角公式与其他三角公式应用（二）一、【学习目标】利用公式或变形形式进行三角函数式的化简和求值。二、公式的变形：（1）tantan（2）降幂公式：2cos，2sin，cossin，2tan。例1.求函数22sincos2sin1yxxx的最值、周期和单调区间。【同类变式】1、求xxxycossincos32的最值、周期和单调区间。2、已知3sin,1)4xm（，2,cos)44xxn（cos，求()fxmn的最值和周期。【巩固提高】1、已知函数()cos(2)2sin()sin()344fxxxx，（1）求函数()fx的最小值；（2）求函数()fx的零点；（3）求函数()fx在区间[,]122上的值域。2、已知函数23()sincos3cos2fxxxx(0)的最小正周期为2。（1）求()fx的表达式；（2）将函数()fx的图像向右平移8个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()ygx的图像，若关于x的方程()0gxk在区间[0,]2上有解，求实数k的取值范围。课题4：三角恒等变换（一）【学习目标】一、会利用和、差、倍、半角公式解决比较复杂的求值和化简问题。二、1、半角公式：sin2；cos2；tan2==。2、倍角公式与其他三角公式应用时的基本思路：（1）“化异为同”“切化弦”“1的代换”是三角恒等变换的常用技巧。“化异为同”是指“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”。（2）角的变换是三角变换的核心，如()，2()()，2()()，22例1.已知：0απ2βπ，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋π4)的值．例2.求值：42212cos2cos22tan()sin()44xxxx例3.求值：（1）1cos20sin10(cot5tan5)2sin20（2）已知sin11cos2，求sincos【同类变式】1、已知0,22，且15tan,sin()2213，（1）求cos和cos的值.（2）求tan2的值.2、设3177cos(),45124xx，求2sin22sin1tanxxx值3、求值：2sin130sin100(13tan190)1cos10课题5：三角恒等变换（二）【学习目标】一、利用和、差、倍、半角公式解决三角恒等变换的综合问题二、1.三角恒等变换与三角函数性质的综合：三角函数的周期性、单调性、最值；2.三角恒等变换与向量的综合：向量的模、向量共线、垂直；三、例1、已知函数f(x)＝－2sin2x＋π4＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.①求f(x)的最小正周期；②求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．例2、设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.①若|a|＝|b|，求x的值；②设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．【同步训练】1、已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π2，π，且f(α)＝22，求α的值．2、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜π2，若a＝(1,1)，b＝(cosφ，－sinφ)，且a⊥b，又知函数f(x)的最小正周期为π.(1)求f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)的单调增区间．3、设函数2()2sincoscossinsin2fxxxx(0)在x处取最小值。（1）求的值；(2)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a,b,c，已知31,2,()2abfA求角C【巩固提升】1、若1coscossinsin3xyxy,则cos22xy________.2、设当x时,函数()sin2cosfxxx取得最大值,则cos______.3、设f(x)=错误!未找到引用源。sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是____.4、设函数23()3sinsincos(0)2fxxxx,且()yfx的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4,(Ⅰ)求的值(Ⅱ)求()fx在区间3[,]2上的最大值和最小值。课题6三角恒等变换复习知识点复习1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴cos；⑵cos；⑶sin；⑷sin；⑸tantantan；tantantan．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin21sin2。⑵cos2==。降幂公式2cos，2sin，sincos．⑶tan2．3、辅助角公式：sincosab（其中0,0,ab）4、三角变换中对角的变形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；②2304560304515oooooo；③)(；④)4(24；⑤)4()4()()(2。分类训练知识点1：两角和差的余弦、正弦1．cos15=；sin105=。2sin70cos25cos65sin20=；cos82.5cos52.5cos7.5cos37.5=。3．cos()=13，cos()=15，则tantan=。4．已知,为锐角，11sin,cos510，求（1）cos()（2）知识点2：拆角与凑角1．已知3cos(),0,,653求sin.2．已知3123,cos(),sin()24135，求cos2.3．求值：（1）2cos5sin25cos25；（2）sin9cos15sin6cos9sin15sin6.知识点3：两角和差的正切1．tan42tan181tan42tan18=；cos15sin15cos15sin15=。2．（1）tan20tan403tan20tan40=；（2）tan20tan10tan20tan10kk，则k=；（3）若,(1tan)(1tan)4=。3．已知11tan(),tan,27求tan.4．已知tan,tan()4是方程260xpx的两根，求p值知识点4：二倍角1．44cossin1212=，2coscos55=.2．43sin,52，则cos2=，tan2=.3．43sin,cos2525，则所在象限.4．化简：21sin822cos8=.5．已知1sincos,05，求：（1）sin2（2）cos2（3）tan4知识点5：升、降幂公式1．化简1sin4cos41sin4cos4=.2．3,22，化简1111cos22222=.3．2cosyx的单调递增区间是.知识点6：4与二倍角1．