人教版必修4第一章1.4.2-正弦函数、余弦函数的性质习题课

正弦函数、余弦函数的性质习题课2．函数y＝13sin(ωx＋φ)(ω0)的周期为π3，则ω的值为.63ππ/2一、基础题型A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．以上都不对[答案]B函数f(x)＝sin3x4＋3π2的奇偶性为()练习1•3．函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数，0≤φ2π，则φ的值为或.•4．函数y＝2cos3x的单调增区间为，.5．如果函数y＝2sin(2x＋φ)的图象关于点π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为.[分析]y＝sint，y＝cost的值域都是[－1,1]，(1)中令t＝x＋π6可由sint的取值范围，求出3－2sint的取值范围．(2)中由于a的符号未定，当a0时，若cosx取最大(小)值，则acosx取最大(小)值，a0时恰好相反，故须分a0与a0讨论．[解析](1)令sinx＋π6＝1，则x＋π6＝2kπ＋π2(k∈Z)．∴当x＝2kπ＋π3(k∈Z)时，y最小值为3－2＝1.令sinx＋π6＝－1，∴x＋π6＝2kπ－π2(k∈Z)，∴当x＝2kπ－23π(k∈Z)时，y有最大值，为3＋2＝5.•(2)①若a0，•当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，y取最大值为a＋b；•当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y取最小值为－a＋b.•②若a0，•当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，ymin＝a＋b；•当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax＝－a＋b.[例2]求下列函数的单调区间．(1)y＝2sinπ4－x；(2)y＝cos2x.[分析]将(1)先用诱导公式化为y＝－2sinx－π4，然后依据y＝sint与y＝cost的单调区间和复合函数单调性的判断方法求解．[解析](1)y＝2sinπ4－x化为y＝－2sinx－π4.∵y＝sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．∴函数y＝－2sinx－π4的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)①2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)②解①得，2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4(k∈Z)，解②得，2kπ－π4≤x≤2kπ＋3π4(k∈Z)．故函数y＝2sinπ4－x的单调增区间、单调减区间分别为2kπ＋3π4，2kπ＋7π4(k∈Z)、2kπ－π4，2kπ＋3π4(k∈Z)．(2)函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②解①得，kπ－π2≤x≤kπ(k∈Z)，解②得，kπ≤x≤kπ＋π2(k∈Z)．故函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别为kπ－π2，kπ(k∈Z)、kπ，kπ＋π2(k∈Z)．求函数y＝sin3x－π3的单调区间．练习2[解析]解y＝sinu在区间[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)上是增函数，在区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)上是减函数．由2kπ－π2≤3x－π3≤2kπ＋π2解得，2kπ3－π18≤x≤2kπ3＋5π18，由2kπ＋π2≤3x－π3≤2kπ＋3π2解得，2kπ3＋5π18≤x≤2kπ3＋11π18.∵u＝3x－π3为增函数，∴原函数的单调增区间为2kπ3－π18，2kπ3＋5π18(k∈Z)．单调减区间为2kπ3＋5π18，2kπ3＋11π18(k∈Z)．)sin3)(sin2()1(xxy6sinsin)1(2xxy62tty则xtsin令425)21(2t]11[，t42521sin21maxyxt时，即当41sin1minyxt时，即当]11[，求下列函数的最值．例、32412sin6cosyxx、求函数的最值．xxycos6)cos1(212解：1cos6cos22xx]11[cos，令xt211)23(216222ttty则]11[，t7)(21cos1maxyZkkxxt时，，即当5)(21cos1maxyZkkxxt时，，即当练习31sin21sin2)2(xxy221sin)2(yyx12211sin1yyx由022221yyy14841222yyyyy1313yyy或313yy或1031032yyy．，，所求值域为)3[]31((1)若满足cosx－sin2x＝a的实数x存在，则实数a的取值范围是________．(2)求下列函数的值域，并指出最值．①y＝2sinx＋π3，x∈π6，π2；②y＝2cos2x＋5sinx－4.练习4[答案](1)[－54，1][分析](2)①中由于x∈π6，π2，而不是x∈R，故讨论其最值可借助于图象或利用单调性讨论．②中根据平方关系sin2x＋cos2x＝1可知此函数可视作以sinx为变量的二次函数，故可用换元法结合sinx的有界性求解．[解析](1)∵y＝－sin2x＋cosx＝cos2x＋cosx－1＝(cosx＋12)2－54，∵－1≤cosx≤1，∴当cosx＝－12时，ymin＝－54，当cosx＝1时，ymax＝1，∴－54≤y≤1，故要使方程cosx－sin2x＝a有实数解，应有－54≤a≤1.②令t＝sinx，则－1≤t≤1，∵cos2x＝1－sin2x，∴y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝－2sinx－542＋98＝－2t－542＋98，∵函数y＝－2t－542＋98在[－1,1]上单调递增，∴－9≤y≤1，且当t＝－1时，sinx＝－1，x＝－π2＋2kπ，k∈Z，ymin＝－9；当t＝1时，sinx＝1，x＝π2＋2kπ，k∈Z，ymax＝1，∴y＝2cos2x＋5sinx－4的值域为[－9,1]，ymin＝－9，ymax＝1.[例2]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx.•[分析]根据函数奇偶性定义进行判断，先检查定义域是否关于原点为对称区间，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．[解析](1)函数的定义域为R，关于原点对称．∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx，∴f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(2)要使函数有意义，应满足1＋sinx≠0，∴函数的定义域为xx∈R，且x≠2kπ＋3π2，k∈Z.∴函数的定义域不关于原点对称．∴函数既不是奇函数也不是偶函数．[点评]当所要判断奇偶性的函数表达式比较复杂时，可以先化简再判断，但化简必须保持“等价”，即化简过程中定义域是否发生变化要心中有数．(2)中f(x)＝sin2x＋sinx1＋sinx＝sinx，仅看最后表达式sinx很容易误判为奇函数，但它实际是非奇非偶函数，因为在化简“约分”时，约去1＋sinx后定义域发生了变化，∴原函数应为f(x)＝sinx(1＋sinx≠0)，而不是f(x)＝sinx.事实上，此函数的定义域关于原点不对称．[例5]设θ是不等边三角形的最小内角，且sinθ＝a＋1a－1，求实数a的取值范围．[错解]∵θ是三角形的最小角，∴θ一定是锐角，即0°θ90°.∴0sinθ1，得0a＋1a－11.解得：a－1.•[辨析]解答忽视了以下内容：三角形中的最小角θ的范围不是0°θ90°，而是0°θ≤60°，又∵三角形是不等边三角形，故0°θ60°.[正解]∵是不等边三角形中的最小角，∴0°θ60°.由cosθ在(0°，60°)内单调递减知：12cosθ1，即12a＋1a－11.解得a－3.故所求实数a的范围为(－∞，－3)．[例5]已知函数y＝a－bcosx的最大值是32，最小值是－12，求函数y＝－4bsinax的最大值、最小值及周期．[错解]∵cosx的最大值为1，最小值为－1，∴当cosx＝1时，y＝a－bcosx取最小值a－b＝－12，当cosx＝－1时，y＝a－bcosx取最大值a＋b＝32，由a－b＝－12a＋b＝32，解得a＝12b＝1，∴函数y＝－4bsinax化为y＝－4sin12x，该函数最大值为4，最小值为－4，周期为4π.•[辨析]∵b的符号未定，故－bcosx的最值不仅与cosx有关，还与b的正负有关，因此应按b0与b0讨论．[正解]∵－1≤cosx≤1，由题意知b≠0.当b0时，－b≤bcosx≤b，∴a－b≤a－bcosx≤a＋b.∴a＋b＝32a－b＝－12，解得a＝12b＝1，∴y＝－4bsinax＝－4sin12x；同理，当b0时，可得：a－b＝32a＋b＝－12，解得a＝12b＝－1.综上可知，y＝±4sin12x.∴函数y＝±4sin12x的最大值为4，最小值为－4，周期为4π.22cos11cos3223sin4cos4,[,]33xyxyxxx练习：求下列函数的值域归纳：解题中应注意三角函数的有界性对函数值的影响变形1:2sin4sin2yabxbxya已知的最大值为3，最小值为1，求函数的周期和最大和最小值。分类讨论法变形2:已知关于x的方程2sin2x-cosx+2m=0有解,求m的取值范围.法1:分离参数法一、选择题1．函数y＝sin6x的最小正周期为()A．2πB．πC.π2D.π3•[答案]D2．函数y＝cos－x2＋π4的最小正周期为()A．πB．2πC．4πD.π2•[答案]C3．函数y＝sin2x的单调减区间是()A.π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z)B.kπ＋π4，kπ＋34π(k∈Z)C．[π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈Z)D.kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)[解析]由2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋3π2，k∈Z得kπ＋π4≤x≤kπ＋34π∴y＝sin2x的单调减区间是[kπ＋π4，kπ＋3π4](k∈Z)．•[答案]B•4．sin1°、sin1、sinπ°的大小顺序是()•A．sin1°sin1sinπ°B．sin1°sinπ°sin1•C．sinπ°sin1°sin1D．sin1sin1°sinπ°•[答案]B•[解析]1弧度＝57.3°，•∵y＝sinx在(0°，90°)上是增函数，且1°π°1，•∴sin1°sinπ°sin1.•5．下列函数中，奇函数的个数为•()•①y＝x2sinx;②y＝sinx，x∈[0,2π]；•③y＝sinx，x∈[－π，π];④y＝xcosx.•A．1个B．2个C．3个D．4个•[答案]C•[解析]∵y＝sinx，x∈[0,2π]的定义域不关于原点对称，∴②不是奇函数，•①、③、④符合奇函数的概念．•6．y＝2sinx2的值域是•()•A．[－2,2]B．[0,2]•C．[－2,0]D．R•[答案]A•[解析]∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，•∴y＝2sinx2∈[－2,2]．二、填空题7．函数y＝2cosπ3－ωx的最小正周期是4π，则ω＝________.[答案]±12[解析]∵T＝2π|－ω|＝4π，∴|ω|＝1