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第十八章平行四边形四边形平行四边形矩形菱形正方形四边形两组对边分别平行平行四边形矩形菱形正方形1.四边形与特殊四边形的关系关系图要点回眸首页项目四边形边角对角线对称性平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等对边平行且相等对边平行且四边相等对边平行且四边相等对角相等邻角互补四个角都是直角对角相等邻角互补四个角都是直角对角线互相平分对角线互相平分且相等对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角中心对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形2.几种特殊四边形的性质：四边形条件平行四边形矩形菱形正方形3.几种特殊四边形的常用判定方法：1.定义：两组对边分别平行的四边形2.两组对边分别相等的四边形3.一组对边平行且相等的四边形4.对角线互相平分的四边形1.定义：有一角是直角的平行四边形2.三个角是直角的四边形3.对角线相等的平行四边形1.定义：一组邻边相等的平行四边形2.四条边都相等的四边形3.对角线互相垂直的平行四边形1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形2.有一组邻边相等的矩形3.有一个角是直角的菱形题型一平行四边形的性质与判定2．如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cmA1.如图，口ABCD与口DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为．第1题图第2题图25°考题分类首页非男神却入我心i｜你非女神却是我命i?你妈闺女是我女神?｜?你妈儿子是我男神?我是来看网名的｜不是来看你男神偶像是谁的.帅比陌?｜.男神紫?快看我捡到一个男神！｜快放老子下来啊媳妇！德芙女王@｜炫迈男神@全民男神。Soo｜大众情人。Hyun郭采洁德芙女王@｜柯震东炫迈男神@给花的都是男神女神｜给蛋的都是丑八怪我的男神就是你i｜我的女神就是你i秋衣女神。｜秋裤男神。无神论者｜男神是你老子把媳妇举得高高的?｜男神放我下来，我怕高?逗比小姐｜高冷男神高冷男神卡酷伊i｜逗比女神卡哇伊iこ我的男神说他可帅啦ゐ｜こ我的女神说她可萌啦ゐ“怪咖女神｜逗逼男神”男神Lo.｜女神Ve.我爱男神?｜我爱女神?逗比女王｜屌丝男神我的男神可乖了｜我的女神可萌了我男神是张晨啊！｜破W我就带他去啪啪啪权志龙是我男神！｜权达美是我女神！呆比男神做你心跳i｜逗比女神做你脉搏i魏晨男神会发光！｜乐橙女神闪亮亮！我家男神帅帅哒i｜我家女神美美哒i哎呀我捡到了一个男神｜快放老子下来啊男神｜女神他是我男神.｜她是我女神.你男神是谁？｜志龙欧巴啊。你是我的男神吖｜你是我的女神吖给花花的是女神!｜给花花的是男神!3．如图,□ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.(1)求证：△AOE≌△COF；解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，AB∥CD.∴∠E＝∠F.又∠AOE＝∠COF.∴△AOE≌△COF(AAS)．(2)请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并说明理由．(2)连接EC、AF，则EF与AC满足EF＝AC时，四边形AECF是矩形．理由如下：由(1)可知△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF＝AC，∴四边形AECF是矩形．题型二特殊平行四边形的性质与判定应用1.如图1，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E，F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm,BC=8cm,则△AEF的周长=cm.ABCDFEO92．如图2，P是菱形ABCD对角线BD上的一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是________cm.43．如图1四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6cm,那么∠BAD=°，AB=cm,AC=cm.606634.如图2，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的一点，连接EB，ED.延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，那么∠AFE的度数是.65°5.如图3，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，DE⊥BC于点E，则DE的长为.ABCDO图1图2图34.86.过正方形ABCD对角线BD上的一点P，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F.求证：AP=EF.ABCDEFP证明：连结AC、PC∵四边形ABCD是正方形∴BD垂直且平分AC∴PA=PC∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°∴四边形PECF是矩形∴EF=PC∴AP=EF题型三特殊平行四形的综合应用1.如图，在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD,ACE,BCF。（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；EDFABC（1）证题思路：先要证明△FDB≌△CAB（SAS）可得AC=DF，再由△AEC是等边三角形，则有AC=AE，所以有AE=DF；同理可证得AD=EF，故命题得证。1.如图，在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD,ACE,BC（2）探究下列问题①当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？②当△ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？③当△ABC满足什么条件时，以D,A,E,F为顶点的四边形不存在？④当△ABC满足什么条件时，平行四边形是正方形.EDFABC①∠BAC=150°②AB=AC③∠BAC=60°④AB=AC且∠BAC=150°2．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1)证明：△ABE≌△DAF；(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD.在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴∠1＋∠4＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°.在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°.在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2，∴AF＝3，DF＝1.由(1)得△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，∴EF＝AF－AE＝3－1.题型四中点四边形及三角形中位线解题小结：依次连接四边形各边中点所得到的新四边形(即中点四边形）的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关．1.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件即，使得四边形EFGH为菱形.AC=BD图1EFADCBP1.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AP、BP的中点，当点P在线段CD上从点C向点D移动时，线段EF的长度将（填“变大”、“变小”或“不变”）.2.已知：如图2，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．图2对应训练：不变1.如图在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则△ＰＢＱ周长的最小值是cm(结果不取近似值）.ADPBQC题型五特殊平行四边形的对称性2．如图在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点在原点，点C的坐标为(4,0)，点B的纵坐标是－1，则顶点A的坐标是.22+1yxoABC(2,1)题型六创新作图类创新作图尺规作图1.如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画∠AOB的平分线(请保留画图痕迹）.AFOBEP2.如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在图（1）中，AB边上求作一点N，连接CN，使CN=AM；（2）在图（2）中，AB边上求作一点Q，连接CQ，使CN//AM；ABCDM图（1）ABCDM图（2）NEON1.四边形与特殊平行四形的关系；2.平行四边形与特殊平行四形的性质与判定；3.三角形中位线与中点四边形；4.特殊平行四边形的对称性；5.与特殊平行四边形有关的创新作图.复习归纳首页1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（）(第1题)C课后演练首页2.已知△ABC的三边长分别为7cm，9cm，10cm，那么这个三角形的三条中位线所围成的三角形的周长为()A.13cmB．26cmC．12cmD．8cmA3.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是()A．BA＝BCB．AC，BD互相平分C．AC＝BDD．AB∥CD第3题图B5．如图，在▱ABCD中，已知AD＝6cm，AB＝4cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC＝________cm.第5题图4.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，顺次连接各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，则四边形A7B7C7D7的周长为()第4题图A．14B．10C．5D．2.52D7.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．第7题图226.如果平行四边形的两邻边分别为3，4，那么其对角线必()A．大于1B．小于7C．大于1且小于7D．小于7或大于1C8.矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点与点A重合，求折痕EF的长.解题要点：1.先利用勾股定理求出AC=5；2.设BE=x,则CE=4-x,由折叠可知AE=CE=4-x,在Rt△ABE中利用勾股定理建立方程求得x=7/8;3.EF是折痕，AC被EF垂直平分，在Rt△AEO中，求得EO=15/8；4.EF=15/4.9.(1)如图所示-1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.求证：BE＝CF；第9题图-1[答案]略(2)如图所示-2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的长；第9题图-2[答案]4(3)已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.求解下列两题：①如图所示-3，矩形ABCD由两个全等的正方形组成，求GH的长；第8题图－3[答案]8②如图所示-4所示，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长(用n的代数式表示)．第8题图-4[答案]4n