1.4.2正弦函数、余弦函数的性质习题课---副本

正弦函数、余弦函数的性质习题课2．函数y＝13sin(ωx＋φ)(ω0)的周期为π3，则ω的值为.3ππ/2一、基础题型4．函数y＝2cos3x的单调增区间为，.函数f(x)＝sin3x4＋3π2的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．以上都不对[答案]B5．如果函数y＝2sin(2x＋φ)的图象关于点π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为.[分析]y＝sint，y＝cost的值域都是[－1,1]，(1)中令t＝x＋π6可由sint的取值范围，求出3－2sint的取值范围．(2)中由于a的符号未定，当a0时，若cosx取最大(小)值，则acosx取最大(小)值，a0时恰好相反，故须分a0与a0讨论．[解析](1)令sinx＋π6＝1，则x＋π6＝2kπ＋π2(k∈Z)．∴当x＝2kπ＋π3(k∈Z)时，y最小值为3－2＝1.令sinx＋π6＝－1，∴x＋π6＝2kπ－π2(k∈Z)，∴当x＝2kπ－23π(k∈Z)时，y有最大值，为3＋2＝5.•(2)①若a0，•当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，y取最大值为a＋b；•当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y取最小值为－a＋b.•②若a0，•当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，ymin＝a＋b；•当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax＝－a＋b.跟踪练习已知函数y＝a－bcosx的最大值是32，最小值是－12，求函数y＝－4bsinax的最大值、最小值及周期．[错解]∵cosx的最大值为1，最小值为－1，∴当cosx＝1时，y＝a－bcosx取最小值a－b＝－12，当cosx＝－1时，y＝a－bcosx取最大值a＋b＝32，由a－b＝－12a＋b＝32，解得a＝12b＝1，∴函数y＝－4bsinax化为y＝－4sin12x，该函数最大值为4，最小值为－4，周期为4π.•[辨析]∵b的符号未定，故－bcosx的最值不仅与cosx有关，还与b的正负有关，因此应按b0与b0讨论．[正解]∵－1≤cosx≤1，由题意知b≠0.当b0时，－b≤bcosx≤b，∴a－b≤a－bcosx≤a＋b.∴a＋b＝32a－b＝－12，解得a＝12b＝1，∴y＝－4bsinax＝－4sin12x；同理，当b0时，可得：a－b＝32a＋b＝－12，解得a＝12b＝－1.综上可知，y＝±4sin12x.∴函数y＝±4sin12x的最大值为4，最小值为－4，周期为4π.)sin3)(sin2()1(xxy6sinsin)1(2xxy62tty则xtsin令425)21(2t]11[，t42521sin21maxyxt时，即当41sin1minyxt时，即当]11[，求下列函数的最值．例、2的最值．练习：求函数xxycos6sin212xxycos6)cos1(212解：1cos6cos22xx]11[cos，令xt211)23(216222ttty则]11[，t7)(21cos1maxyZkkxxt时，，即当5)(21cos1maxyZkkxxt时，，即当[答案](1)[－54，1][分析](2)①中由于x∈π6，π2，而不是x∈R，故讨论其最值可借助于图象或利用单调性讨论．②中根据平方关系sin2x＋cos2x＝1可知此函数可视作以sinx为变量的二次函数，故可用换元法结合sinx的有界性求解．[例2]求下列函数的单调区间．(1)y＝2sinπ4－x；(2)y＝cos2x.[分析]将(1)先用诱导公式化为y＝－2sinx－π4，然后依据y＝sint与y＝cost的单调区间和复合函数单调性的判断方法求解．[解析](1)y＝2sinπ4－x化为y＝－2sinx－π4.∵y＝sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．∴函数y＝－2sinx－π4的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)①2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)②解①得，2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4(k∈Z)，解②得，2kπ－π4≤x≤2kπ＋3π4(k∈Z)．故函数y＝2sinπ4－x的单调增区间、单调减区间分别为2kπ＋3π4，2kπ＋7π4(k∈Z)、2kπ－π4，2kπ＋3π4(k∈Z)．(2)函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②解①得，kπ－π2≤x≤kπ(k∈Z)，解②得，kπ≤x≤kπ＋π2(k∈Z)．故函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别为kπ－π2，kπ(k∈Z)、kπ，kπ＋π2(k∈Z)．求函数y＝sin3x－π3的单调区间．[解析]解y＝sinu在区间[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)上是增函数，在区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)上是减函数．由2kπ－π2≤3x－π3≤2kπ＋π2解得，2kπ3－π18≤x≤2kπ3＋5π18，由2kπ＋π2≤3x－π3≤2kπ＋3π2解得，2kπ3＋5π18≤x≤2kπ3＋11π18.∵u＝3x－π3为增函数，∴原函数的单调增区间为2kπ3－π18，2kπ3＋5π18(k∈Z)．单调减区间为2kπ3＋5π18，2kπ3＋11π18(k∈Z)．[例2]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx.•[分析]根据函数奇偶性定义进行判断，先检查定义域是否关于原点为对称区间，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．[解析](1)函数的定义域为R，关于原点对称．∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx，∴f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(2)要使函数有意义，应满足1＋sinx≠0，∴函数的定义域为xx∈R，且x≠2kπ＋3π2，k∈Z.∴函数的定义域不关于原点对称．∴函数既不是奇函数也不是偶函数．[点评]当所要判断奇偶性的函数表达式比较复杂时，可以先化简再判断，但化简必须保持“等价”，即化简过程中定义域是否发生变化要心中有数．(2)中f(x)＝sin2x＋sinx1＋sinx＝sinx，仅看最后表达式sinx很容易误判为奇函数，但它实际是非奇非偶函数，因为在化简“约分”时，约去1＋sinx后定义域发生了变化，∴原函数应为f(x)＝sinx(1＋sinx≠0)，而不是f(x)＝sinx.事实上，此函数的定义域关于原点不对称．22cos11cos3223sin4cos4,[,]33xyxyxxx练习：求下列函数的值域归纳：解题中应注意三角函数的有界性对函数值的影响函数y=sinxy=cosx图形定义域值域最值单调性奇偶性周期对称性2522320xy21-1xRxR[1,1]y[1,1]y22xk时，1maxy22xk时，1miny2xk时，1maxy2xk时，1miny[-2,2]22xkk增函数3[2,2]22xkk减函数[2,2]xkk增函数[2,2]xkk减函数2522320xy1-122对称轴：,2xkkZ对称中心：(,0)kkZ对称轴：,xkkZ对称中心：(,0)2kkZ奇函数偶函数