线性控制系统-现代控制理论基础

线性控制系统LinearControlSystems张国山[e-mail]@126.com天津大学电气与自动化工程学院讲授内容Contents•现代控制理论基础(复习与补充)•反馈控制系统—稳定性与控制器的设计•线性系统的复频域理论•Youla参数化方法参考书：•Chandrasekharan,P.C.,RobustControlofLinearDynamicalSystems,London:AcademicPress,1996.•Maciejowski,J.M.,MultivariableFeedbackDesign,Reading,MA:Addison-Wesley,1989.•刘豹，现代控制理论(第二版)•胡寿松,自动控制原理(第五版)•郑大钟，线性系统理论(第二版)，2002•段广仁，线性系统理论(第二版),2004•周克敏，鲁棒与最优控制，2002本课程学习方法：(1)自己完成一些学习内容的推导(2)完成练习题和作业考试方式：闭卷考试80%，作业20%第1章现代控制理论基础1.1线性系统的状态空间描述StateSpaceDescription设系统动态方程为xAxBuyCxDumpuRyR状态解：00()()0()()()tAttAttxtexteBud转移矩阵(定义)：0()0()Atttte表示状态()xt从0x1x到的转移关系矩阵xAx，00()xtx，11()xtx，1100()xttx取拉氏变换：()(0)()()sXsxAXsBUs1()()[()(0)]XssIABUsx当(0)0x时，1()[()]()YsCsIABDUs传递函数(Transferfunction)：1()()GsCsIABD1.2能控性及判据ControllabilityandCriteria能控性：在有限时间内从任意状态0x到达任意状态1x。判别线性系统(完全)能控性的两个等价条件：1[]ncBABAB(1)rankcn，(矩阵及秩)(2)rank[],sIABns(复域)证明这两个条件的等价性(反证法--提示)1.3能观性及判据Observability用可以观测到，但是通常是不可以测量的，所以用输入和输出观测或.判别系统能观性的两个等价条件：11()xtx00()xtx11()xtx()ut()yt0()xt()xt能观性：(1)，(矩阵及秩)(2)(复域)01nCCACA0ranknrank,sIAnsC输出能控：线性定常系统输出完全能控的充分必要条件是：1()rank[]nmnrrDCBCABCABm1.4标准形Standardform,Canonicalform11(,,,)(,,,)ABCDTATTBCTD等价变换11ˆˆ,ˆxTATxTBuyCTxDu1ˆ,ˆxTxxTx或能控标准形--单输入单输出(SISO)系统能控标准形:111101110()()nnnnnbsbsbGsCsIABDsasasa0110110100000100;;1cccnnAbcbbbaaa从状态空间表示求取能控标准形的方法(,,)Abc(,,)cccAbc111111111,001001nccnPPAPPUbAbAbPAcxPx1cccAPAP1ccbPbccccP可以将任意形式的能控系统化成上述能控标准形。(推导之)多输入多输出(MIMO)系统能控标准形：1112122()()()()()()00ccccxtxtAABxtutxtxtA12()()()ccxtytCCxt例1：11122233310010200,1210031xxxxxuyxxxx11133232210010301,1120020xxxxxuyxxxx1133101031cxxxuxx能控子系统：不能控子系统：222xx能观标准形――单输入单输出(SISO)系统的能观标准形：0011110010;;001001ooonnababAbcab多输入多输出(MIMO)变量系统能观标准形：0111221221()()0()(),()()()()0()oooooxtxtBAxtutxtxtBAAxtytCxtKalman标准形：11131212223242334344000000000cocococococococoxAAxBxAAAAxBuxAxxAAx131300cocococococoxxyCCCxCxxx(掌握这个结构)111321222324133434400ˆ00000AAAAAATATAAAA121ˆ00BBBTB13ˆ00CCTCCi)是即能控又能观部分both(complete)controllableandobservable;111111(,,)CAB细分：ii)是能控但不完全能观部分controllablebutunobservable;1111212220,,0ABCAABiii)是不完全能控但能观部分observablebutuncontrollable;113111333,,00AABCCAiv)是即不能控也不能观部分neithercontrollablenorobservable.标准形可以根据自己的需要构造。44,0,0A1.5能稳(定)与能检测stabilizable,detectablerank[],sIABnsrank,sIAnsC(复域)(复域)为闭右半复平面解释：不能控(或不能观)的模(特征值)在左半复平面上，即存在反馈增益使得为稳定矩阵。,KF,ABKAFC1.6实现与最小实现MinimalRealization从系统的传递函数（矩阵）表示到状态空间表示111101110()()nnnnnbsbsbGsCsIABDsasasa0110110100000100;;1cccnnAbcbbbaaa例2：(1X2与2X1矩阵)111()3220113(1)(3)sGsssssss111122()[][],()ccsIAbbsIAbc120332[01],,[],[01]1412cAbbd13011()1221(1)(3)3ssGssssss12010310,,,341221cAbdc分析：如果则例3：(2X2矩阵)11121261012()()()1515100(2)(3)13ssssGsNsDssssss10010162001,00,110506501ABC进一步验证是最小实现。或理论上，如果右互质，是最小实现。(,,)ABC(),()NsDs(,,)ABC1.7极点配置Poleplacement,Poleassignment能控，的极点可以任意配置能观，的极点可以任意配置输出反馈下，的极点在满足能控能观且时，几乎可以任意配置。(,)ABABK(,)CAAFCuKyABKCrankrank1BCn1.8反馈对能控、能观的影响输出反馈不改变系统的能控能观性，即系统与系统有相同的能控能观性。问题：在什么条件下是能控的？(通过输出内射outputinjection--输出到状态导数的反馈--实现)在什么条件下是能观的？(,,)ABKCBC(,,)ABC(,)AFCB(,)CABK定理存在使能控的充要条件是(1)(2)(1)与(2)同样是能观的充要条件。F(,)AFCB1()0CsIABrank,0sIABnsC(,)CABK定理’设矩阵化为Smith标准形：则能控(能观)0sIABC0sIABC121diag(),(),,(),(),nndsdsdsds(,)AFCB(,)CABK的充分必要条件是121()()()1,()0nndsdsdsds1.9状态反馈解耦DecouplingbystatefeedbackxAxBuyCx。。。。。。ppuRyR1()()()YsCsIABUs()Ys()Us与一般是耦合的，取反馈uKxLv，则当(0)0x时，1()[()]()YsCsIABKBLVs设1()()KLGsCsIABKBL，如果()KLGs具有对角结构，即11()()()KLppgsGsgs(),1,2,...,iiiiygsvipiv这时，每个输入只影响一个输出，这时称系统已解耦。iy•问题：是否存在使传函成为上述对角结构？•存在的条件是什么？,KL()KLGs,KL111111111111(1)1111111(0)(0,0)dddddycxycxcAxcBucBycAxcABucABcAB如果如果2ypy对于到采用同样方法(1)1iiiiiiidddiiiycxycAxycAxcABu1(0,0,1,2,...,)iiddiicABcABip如果这时，我们得到111(1)1111(1)1pppddddddpppycAcABxuycAcABFxEuv如果矩阵E可逆，则取反馈11uEFxEv，则111111/1/pddppysvyvs这种解耦方式称之为积分型解耦IntegralType.所以是存在积分型解耦的充要条件。111pddppcABeEecAB非奇异从传递函数判定是否存在积分型解耦的方法(介绍):如果给出系统的传递函数1()()()pgsGsgs1lim(),1,2,,idiissgseipEE，则同样定义并按是否非奇异判定是否存在积分型解耦。例4.(解耦)1111006031102010,1112001010222001xxuyx1001E，60322220F