初三数学阅读理解题第25题专题复习

25．任意一个正整数m都可以表示为：m=a||2×b（a,b均为正整数），在m的所有表示结果中，当|a−b|最小时，规定()2bQma．例如2222108110822731263，因为110822731263，所以31()264Qm．（1）(48)Q；如果一个正整数n是另一个正整数c的立方，那么称正整数n是立方数，求证：对于任意立方数n，总有1()2Qn；（2）一个正整数t，20txy（9x1，9y0，xy，是自然数），如果t与其各个数位上数字之和能被19整除，那么我们称这个数t为“希望数”．求所有“希望数”中()Qt的最小值．25．阅读下列材料，并解决问题：材料1：对于一个三位数其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”如122，22(21)；材料2：若一个数M能够写成M=p||2−q||2+p+q（p、q均为正整数，且pq），则我们称这样的数为“不完全平方差数”，当22pqpq最大时，我们称此时的p、q为M的一组“最优分解数”，并规定()pFMq.例如222234989817171717，因为：29829285，217171172173，2153，所以9()8FM；（1）求证：任意的一个“倍差数”与其百位数字之和能够被3整除；（2）若一个小于300的三位数14020Nabc（其中14b，09c，且a、b、c均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，求所有()FN的最大值.25．材料1：一个多位正整数，如果它既能被13整除，又能被14整除，那么我们称这样的数为“一生一世”数(数字1314的谐音).例如：正整数364，3641328，3641426，则364是“一生一世”数.材料2：若一个正整数m，它既能被a整除，又能被b整除，且a与b互素（即a与b的公约数只有1），则m一定能被ab整除.例如：正整数364，3641328，3641426，因为13和14互素，则364(1314)3641822，即364一定能被182整除.（1）6734（填空：是或者不是）“一生一世”数.并证明：任意一个位数大于三位的“一生一世”数，将其末尾三位数截去，所截的末尾三位数与截去后剩下的数之差一定能被91整除；（2）任意一个四位数的“一生一世”数，若满足前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这样的数为“相伴一生一世”数，求出所有的“相伴一生一世”数.25．对于一个正整数，如果从左到右偶数数位上的数字之和与奇数数位上的数字之和的差是11的倍数，则称这个正整数为“新奇数”。把一个多位正整数分解为末三位和末三位之前的数，如果末三位数减去末三位以前的数所得差能被13整除，则这个多位正整数“新异数”。已知任意四位数P均可唯一分解为21000Pxyz的形式（其中x,y,z均为非负整数，且21zy），规定()xyGMxz．例如：21234100011622，11615(1234)12223G．（1）求证：任意四位“新奇数”都能被11整除；（2）已知一个四位自然数100010010(16,26,17)nabcdabc，个位数字比百位数字小2；2301mn，且m既是“新奇数”，又是“新异数”，求符合条件的正整数m以及()GM最小值．25．若整数m是8的倍数，那么称整数m为“发达数”．例如，因为16是8的倍数，所以16是“发达数”．（1）已知整数m等于某个奇数的平方减1，求证：m是“发达数”．（2）已知两位正整数10txy（19xy，其中x，y为自然数），交换其个位上的数字和十位上的数字得到新数s，如果s加上t的和是“发达数”，求所有符合条件的两位正整数t．25．若一个三位整数mxyz（,,xyz为整数，且19x，09y，09z）满足2yxz，则称m为“喜欢数”，例如102m满足2120，则称102为“喜欢数”；将“喜欢数”m的百位数字与十位数字交换得到的新数nyxz，则称n为m的“欢喜数”，例如“喜欢数”102交换其百位数字和十位数字得到的新数12n，则称12为102的“欢喜数”。（1）请说明任何一个“喜欢数”的“欢喜数”都能被3整除；（2）已知一个三位整数Pabc（其中,,abc为整数，且15a，05c）是“喜欢数”，Q是P的“欢喜数”，若P的两倍与Q的差能被13整除，求P的值。25．对于两个两位数m和n，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上的数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为(,)Fmn．例如：当36m，10n时，将m十位上的3放置于n中1与0之间，将m个位上的6放置于n中0的右边，得到1306，将n十位上的1放置于m中3与6之间，将n个位上的0放置于m中6的右边，得到3160，这两个新四位数的和为130631604466，446611406，所以(36,10)406F．（1）计算：(20,18)F；（2）若10ax，108by（09x，19y，,xy都是自然数），当150(,36)(,49)62767FaFb时，求(5,)Fab的最大值25．一个三位自然数是s，将它任意两个数位的数字对调后得到一个首位不为0的新三位自然数s′（s′可以与s相同），设'sxyz，在s′所有的可能情况中，当3xyz最大时，我们称此时的s′是s的“梦想数”，并规定P(s)=x2+3y2-z2．例如127按上述方法可得到新数有：217、172、721，因为2372，1212207611221220，，，所以172是127的“梦想数”，此时，222(127)1372144P（1）求512的“梦想数”及(512)P的值；（2）设三位自然数1sab，交换其个位与十位上的数字得到新数's，若297'4887ss，且()Ps能被7整除，求s的值．25．一个数的后三位数加上前边的数之和能被37整除，那么这个数就能够被37整除，如果前边的数超过三位，那么三个数字为一组，相加能够被37整除，这个数就能被37整除．例如：6549，549+6=555，555÷37=15，所以6549能被37整除；12360146，146+360+12=518，518÷37=14，所以12360146能被37整除．（1）判断：333444（能、不能）被37整除；证明：若四位数abcd（其中19a，19b，19c，19d，a、b、c、d为整数）能被37整除，求证：将abcd的个位截去，再用余下的数减去个位数的11倍也能被37整除．（2）一个四位数abcd（其中19a，19b，19c，19d，a、b、c、d为整数），其个位数字与千位数字的和等于十位数字与百位数字的和，此四位数能被37整除，且百位数字加上个位数字再与十位数字的差是一个完全平方数，求此四位数．25．对任意一个四位数n，将这个四位数n千位上数字与十位上数字对调、百位上数字与个位上数字对调后可以得到一个新的四位数m，记()99nmFn．例如：1423n，对调千位上数字与十位上数字及百位上数字与个位上数字得到2314，所以14232314()999Fn.如果四位数n满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“平衡数”，例如：1423，因为1423，所以1423是一个平衡数.（1）请计算(8062)F，并证明：对于任意一个四位数n，都有()Fn为整数；（2）若一个“平衡数”N的十位数字比百位数字的2倍少1，且这个“平衡数”能同时被3和11整除，求()FN的最小值．25．一个三位正整数的各位数字均不为零，如果十位数字是个位数字与百位数字的平均数，我们把这个三位数叫作“阶梯数”。把阶梯数m的十位数字作个位，个位数字、百位数字分别作十位得到两个两位数，再把m的十位数字作十位，个位数字、百位数字分别作个位又得到两个两位数。用m减去这四个两位数，再减去m的十位数字得到的差除以33，把这个商记作()Gm。例如，531是一个阶梯数，得到的四个两位数分别为53，13，35，31，差531-53-13-35-31-3=396，396÷33=12，则(531)12G。（1）任写一个阶梯数n，并求出()Gn；（2）已知,pq都是阶梯数，其中10050pac，100101qxy（,,,acxy都是一位正整数），如果()()4GpGq，规定pkq，求k的最大值。25．对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数n为“平衡数”，对于一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成四个三位数，把这四个三位数的和与222的商记为()Fn，例如：1526n，因为1+6=2+5，所以1526是一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成的四个三位数分别为152、526、261、615，这四个三位数的和为：152+526+261+615=1554，1154÷222=7，所以(1526)7F．（1）写出最小和最大的“平衡数”n，并求出对应()Fn的值；（2）若s、t都是“平衡数”，其中s=10x+y+3201，t=1000m+10n+126（09x，08y，19m，07n，x、y、m、n都是整数），规定：()()()()FsFtkFsFt，当()()FsFt是一个完全平方数时，求k的最大值。25．对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为()Dn，把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，可得另一个三位数，记为()En。如123，记为(123)D，交换123的百位数字与个位数字的位置后，得到321，即(123)321E。规定()()()198EnDnFn，如321123(123)1198F。（1）计算：(159)F，(246)F；（2）若()Ds是百位数字为1的数，()Dt是个位数字为9的数，且满足()()5FsFt，记2()()9DsDtk，求k的最大值。25．阅读下列材料：材料1：若五位整数去掉个位数字后剩下的数再加上去掉的个位数字的4倍，其结果能被13整除，则这个数能被13整除。若数字太大不能直接观察出来，就重复此过程。例如：14443去掉个位数字后得到1444，加上3的4倍得到1456，1456去掉个位数字6得到145，再加上6的4倍得到169，169能被13整除，故14443能被13整除。材料2：任意一个大于3的正整数M都有如下分解：M=a2b2c(a,b,c为正整数，且a≤b，ab≤c).当abc的值最小时，定义2()3abFMc.例如：2222222222222311211218131314622152310，当1,4,6abc时，abc的值最小，所以1241(23)362F（1）请判断：32799_______（能/不能）被13整除；请证明：任意四位整数去掉个位数字后剩下的数再加上去掉的个位数字的4倍，其结果能被13整除，这个数也能被13整除。（2）若整数10Amn(1≤m≤9，1≤n≤9，且m,n为整数)，'2010Anm。若一个整数从左到右的数位上的数字和另一个整数从右到左的数位上的数字完全相同，则称这两个整数互为对称数。将A作为数P的后两位数，'A作为数P后两位以前的数。若P的对称数能被39整除，求()FA的值.25．一个形如cbabc的五位自然数（其中c表示该数万位