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上海招考热线页封面全国统考：中国网络远程教育高等数学教材（专科起点升本科）自编教材上海招考热线一、内容提要.....................................................................................................................1二、典型例题.....................................................................................................................2第二章极限与连续.................................................................................................................6一、内容提要.....................................................................................................................6二、典型例题.....................................................................................................................8第三章导数与微分...............................................................................................................13一、内容提要...................................................................................................................13二、典型例题...................................................................................................................15第四章导数的应用...............................................................................................................20一、内容提要...................................................................................................................20二、典型例题...................................................................................................................22第五章不定积分...................................................................................................................27一、内容提要...................................................................................................................27二、典型例题...................................................................................................................28第六章定积分及其应用....................................................................................................32一、内容提要...................................................................................................................32二、典型例题...................................................................................................................33第七章多元函数微积分.......................................................................................................37一、内容提要...................................................................................................................37二、典型例题...................................................................................................................39上海招考热线页第一章函数一、内容提要1、函数（1）定义：设有两个变量x与y。当变量x在给定的某一变域中任意取定一值时，另一变量y就按某一确定的法则有一个确定值与x的这个值相对应，那末变量y称为变量x的函数，记作y=f(x)。（2）定义中两要素：定义域与对应法则。定义域：自变量x的取值范围。对应法则：自变量x与因变量y的对应规则。（3）注意两点：①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。②在不同区间上用不同数学表达式来表示的函数称为分段函数。分段函数是一个函数而不是几个函数。2、反函数（1）定义：设已知y是x的函数y=f(x)，如果将y当作自变量，x当函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x=(y)就叫做函数f(x)的反函数，由于通常总把自变量记作x，函数记作y，因此习惯上称y=(x)为函数f(x)的反函数，记作f-1(x)，而f(x)叫做直接函数。（2）附注：反函数的定义域与直接函数的值域相同。3隐函数定义:凡能够由方程F(x,y)=0确定的函数关系，称为隐函数。4、函数的简单性质有界性，奇偶性，单调性与周期性。5、复合函数（1）定义：设y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=(x)，而且当x在某一区间I取值时相应的u值可使y有定义，则称y是x的一个定义于区间I上的复合函数，记作y=f[(x)]。（2）几个注意的问题：①复合函数可以简单地理解为函数的函数。有了复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数。例如，函数y=sinx2可以看作由函数y=sinu和u=x2复合运算而产生的。②要使复合函数y=f[(x)]有意义，必须满足函数u=(x)的值域包含在函数y=f(u)的定义域中。6、基本初等函数与初等函数（1）基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。（2）初等函数由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和复合构成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。上海招考热线页二、典型例题1、函数定义域例1求函数y=211xx的定义域解要使函数表达式有意义，x要满足：0102xx即110xx所以函数的定义域为[-1，0)(0，1].例2求函数)1lg(4)(xxxf的定义域.解要使函数表达式有意义，x要满足：0)1lg(0104xxx即214xxx所以函数的定义域为（1，2）（2，4].例3求函数f(x)=21,110,1xx的定义域.解函数f(x)的定义域是[0，2].例4设函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x+a)的定义域.解f(x)的定义域为[0，1]01x由01ax得axa1所以函数f(x+a)的定义域为[-a，1-a].小结所谓的函数的定义域就是自变量x的允许取值范围，因此（1）对于用数学表达式表示的函数，其定义域就是使表达式有意义的x的取值范围，因此要注意某些运算对函数的限制。一些常见的限制有：①在分式中的分母不能为零；②在根式中负数不能开偶次方根；③在对数中，真数要大于零；④在反三角函数中，要符合反三角函数的定义域。（2）对于已知f(x)的定义域，要求y=f[(x)]的定义域，只要将f(x)中的x的变化范围当成(x)的变化范围，再从中解出x的变化范围，这个x的变化范围就是函数f[(x)]的定义域。例如，函数f(x)的定义域为[1，2]，则可得f(ax)（a0）的定义域为aa2,1。（3）对于分段函数，它的定义域为所有分段区间的并集。（4）如果函数的表达式由若干项组成，它的定义域是各项定义域的公共部分。上海招考热线、函数值与函数记号例1若f(x)=x3+1，求f(x2)，[f(x)]2，f(0)及f(a+1).解f(x2)=(x2)3+1=x6+1.[f(x)]2=(x3+1)2=x6+2x3+1f(0)=03+1=1，f(a+1)=(a+1)3+1.例2设f(x+1)=x2+4x-3，求f(x)，xf1.解令x+1=t，解得x=t-1，代入原式得f(t)=(t-1)2+4(t-1)-3=t2+2t-6.故f(x)=x2+2x-6.xf1=).621(16121222xxxxx例3设f(x)=11x，求（1）f(x-1)；（2）f(x)-1；（3）xf1；（4）f[xf1].解（1）f(x-1)=xx11)1(1（2）f(x)-1=1111xxx（3）xf1=1111xxx（4）f[xf1]=f1211111xxxxxx例4设f(x)=,21,2,10,,0,11xxxxx求f(-2)，f21，f(1.5).解f(-2)=31121f21=21上海招考热线(1.5)=2小结（1）已知函数f(x)的表达式，要求某一点x0的函数值f(x0)或求函数f[(x)]的表达式，只要将f(x)表达式中的字母x换成x0或(x)，再进行计算整理即得所求。（2）若已知f[(x)]的表达式，要求f(x)的表达式，一般可令(x)=t，从中解出x=)(t，将