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排列与组合(一)排列学习目标（1）正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；（2）了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；（3）掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数；（4）会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；（5）通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。例题分析例1、用0到9这十个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶数，个位数是2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有个当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有（个）．∴没有重复数字的四位偶数有个．解法2：当个位数上排“0”时，同解一有个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：个∴没有重复数字的四位偶数有个．解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有个干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有个∴没有重复数字的四位偶数有个．解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．没有重复数字的四位数有个．其中四位奇数有∴没有重复数字的四位偶数有个说明；这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用．例2、三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有对种不同的排法，因此共有种不同的排法（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有种不同的排法．（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有种不同的排法．解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有种不同的排法．解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有种不同的排法，所以共有种不同的排法，（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，这时末位就只能排男生，有种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有种不同的排法，这样可有种不同排法．因此共有种不同的排法．解法2：3个女生和5个男生排成一排有种排法，从中扣去两端都是女生排法种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有种不同的排法．说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快．捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．例3、排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：（1）先排歌唱节目有种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：＝43200.（2）先排舞蹈节目有中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：＝2880种方法。说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。如本题（2）中，若先排歌唱节目有，再排舞蹈节目有，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。例4、某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．分析与解法1：6六门课总的排法是，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一节有种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有种排法，因此符合条件的排法应是：（种）．分析与解法2：根据要求，课程表安排可分为4种情况：（1）体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有种；（2）数学排在第一节但体育不排在最后一节，有排法种；（3）体育排在最后一节但数学不排在第一节，有排法种；（4）数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：（种）．分析与解法3：根据要求，课表安排还可分下述4种情况：（1）体育，数学既不在最后也不在开头一节，有种排法；（2）数学排在第一节，体育不排在最后一节，有4种排法；（3）体育在最后一书，数学木在第一节有4种排法；（4）数学在第一节，体育在最后一节有1种排法．上述21种排法确定以后，仅剩余下四门课程排法是种，故总排法数为（种）．下面再提出一个问题，请予解答．问题：有6个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法．请读者完成此题．说明：解答排列、组合问题要注意一题多解的练习，不仅能提高解题能力，而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法检测题1．6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法．2．5名男生和4名女生排成一队，其中女生必须排在一起，一共有________种不同的排法．3．a,b,c,d排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法有_______种．4．0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是．5．下列各式中与排列数相等的是（）．A．B．C．D．6．，且，则等于（）．A．B．C．D．7．若，则的个位数字是（）．A．8B．5C．3D．08．7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有（）．A．720种B．360种C．1440种D．120种9．求和.10．5名男生、2名女生站成一排照像：（1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？（2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？（3）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？（4）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（5）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？（6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？参考答案:1．5042．172803．94．31405．D6.D7．C8．C9．∵，.∴10．（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排；（种）；（2）中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生；（种）；（3）把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列；（种）；（4）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生；（种）；（5）七个位置中任选五个排男生问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的；（种）；（6）采用排除法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的个，再去掉女生乙在右端的个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的种排除了两次，要找回来一次．（种）．（二）组合学习目标（1）正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；（2）掌握组合数的计算公式、组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用这些知识解决一些简单的组合应用题；（3）通过对排列、组合综合问题的求解与剖析，培养按事件发生的过程进行熟练地分类与分步，培养严谨科学的思维习惯．培养严谨的学习态度．（4）通过对比排列学习组合知识，掌握类比的学习方法，提高分析问题和解决问题的能力，并培养用对立统一规律和辩证唯物主义思想解决实际问题．例题分析第一阶梯例1、计算：（1）；（2）．分析：本题如果直接计算组合数，运算比较繁．本题应努力在式子中创造条件使用组合数的性质，第（1）题中，，经此变形后，可继续使用组合数性质．第（2）题有两个考虑途径，一方面可以抓住项的变形，求和；另一方面，变形，接着，…，反复使用公式．解：（1）原式．（2）原式．另一方法是：原式．说明：利用第（2）小题的手段，我们可以得到组合数的一个常用的结论：．左边右边．例2、从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？（1）A、B必须当选；（2）A、B都不当选；（3）A、B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．分析：本题是组合应用题中典型的选代表问题，通过一些明确的条件对结果进行限制．问题（1）A、B必须当选，它们就不必再考虑，只要再选出余下的代表．问题（2）A、B必须不当选，实际上就是去掉这几个元素不予考虑．问题（3）A、B不全当选可以从正反两方面考虑．从正面考虑可以按A、B全不选和A、B选一个分类，从反面考虑可用间接法，去掉A、B全选的情况．问题（4）可以按女生选2人、3人…进行分类，当然也可以从反面考虑用间接法．问题（5）可以先处理特殊位置的体育班委与文娱班委．解：（1）除A、B选出外，从其它10个人中再选3人，共有的选法种数为（种）．（2）去掉A、B，从其它10人中任选5人，共有的选法种数为：（种）．（3）按A、B的选取情况进行分类：A、B全不选的方法数为，A、B选1人的方法数为，共有选法（种）．本小题的另一解法：从12人中选5人的选法中去掉A、B全选的情况，所有选法只有（种）．方法一：按女同学的选取情况分类：选2名女同学、3名男同学；选3名女同学2名男同学；选4名女同学1名男同学；选5名女同学．所有选法数为：（种）．方法二：从反面考虑，用间接方法，去掉女同学不选或选1人的情况，所有方法总数为（种）．（5）选出一个男生担任体育班委，再选