第7章-轴向拉压杆件的强度与变形计算

第七章轴向拉压杆件的强度与变形计算主要内容•轴向拉压杆横截面上的应力•轴向拉压杆斜截面上的应力•轴向拉压杆的变形计算胡克定律•轴向拉压杆的强度计算•拉压超静定问题7.1轴向拉压杆横截面上的应力•轴力FN是截面上轴向分布内力的合力ANdAF–外力合力的作用线与杆轴重合。–材料是均匀连续的。由实验结果表明，对于细长杆，在离加力端一定距离的大部分区域，其横截面在杆件变形后仍保持平面，杆件各纵向线段的伸长都相等。•横截面上只有正应力且是均匀分布的。AdAFAN轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式AFN（拉为正，压为负）•一般情况下，在外力作用点附近各截面上的应力是非均匀分布的；•圣维南原理：力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围为离杆端1－2个杆件的横向尺寸。–此原理已为大量试验和计算所证实。–只要外力的合力作用线沿杆件轴线，在离外力作用面稍远处，横截面上的应力分布可视为均匀。•例7-1三角架结构尺寸及受力如图所示。其中FP＝22.2kN，钢杆BD的直径dBD＝25.4mm，钢杆CD的横截面面积ACD＝2.32×103mm2。试求BD与CD的横截面上的正应力。解：（1）受力分析，求各杆轴力（2）求各杆应力0,0yxFFkNFFkNFFPNCDPNBD2.224.312kNAFkNAFCDNCDCDBDNBDBD2.224.317.2轴向拉压杆斜截面上的应力•截面法0xFPNFF•斜截面上各点的总应力•斜截面上的正应力与切应力coscoscos/AFAFpNN2sin2sincossin2cos12coscos2pp分解0,,0max22,2,45minmaxo0,0,90o–通过杆内任一点不同方位截面上的正应力和切应力将随着截面的方位角变化。最大正应力发生在横截面上最大切应力发生在与轴线成45o的斜截面上7.3轴向拉压杆的变形计算胡克定律•实验表明–杆件在轴向拉力或压力作用下，杆件沿轴线方向将发生伸长或缩短；–在杆件的横向（与杆件轴线相垂直的方向）亦必同时发生缩短或伸长。•轴向变形或纵向变形：杆沿轴线方向变形；•横向变形：垂直于轴线方向的变形。ldlll1ddd1•绝对伸长或缩短量•纵向线应变•横向线应变lldd•泊松比：实验表明，当材料在线弹性范围内时，纵向线应变与横向线应变的绝对值之比为一常数。–材料常数–试验确定–实验表明，材料在线弹性范围内，拉（压）杆的纵向变形量与其轴力、杆长成正比，而与横截面积成反比。AlFlN•胡克定律EAlFlN•弹性模量：E–材料常数–试验确定•拉（压）刚度：EA–材料在线弹性范围内，拉（压）杆的纵向变形量与其轴力、杆长成正比，而与拉（压）刚度成反比。E•对于受多个力作用的杆件和承受轴向分布力或变截面的杆件，其总的纵向变形iiiNiiiEAlFlldxxEAxFllN•例7-2受多个力作用的等直杆，横截面面积A=500mm2，材料的弹性模量E＝200GPa，试求杆件总的纵向变形量。解：（1）求杆各段轴力iiiNiiiEAlFll（2）求杆件总的纵向变形量mmEAlFlFlFllllNNN065.0332211321•例7-3如图所示等直杆，设杆长为l，杆件横截面面积为A，材料容重为γ，试求全杆由自重引起的总伸长量。解：（1）受力分析，求杆轴力xAxFN（2）求杆件总变形量对微段dxEdxxEAdxxAEAdxxFldN)()(全杆总伸长量EAWlEAlAlElEdxxldlll2122)(20C'1、变形图近似画法变形图严格画法，图中弧线；各杆的变形量△li，如图；变形图近似画法，图中弧之切线（作垂线）。※关于变形图做法ABCl1l2F1l2lC(小变形放大图)2、变形图的做法举例ABCl1l21l2lB'变形垂线位置两杆均变形1lBxsinctg21llBy22______ByBxBB求位移ABCl1l21l2lB'BxBy变形垂线位置l1BACBsin1______lBB求位移一杆变形，一杆为刚体•例7-4一铰接三角架，已知＝30o；杆AB为圆截面钢杆，直径d＝34mm，杆长l1=1.15m；杆AC为正方形截面木杆，截面边长a=170mm；钢的弹性模量E＝210GPa；木材顺纹的弹性模量E＝10GPa；点A处作用的集中力FP＝40kN。试求节点Ａ的位移。解：（1）受力分析，求各杆轴力0,0yxFFkNFFkNFFNNPN7.69cos80sin121（拉力）（压力）（2）求各杆变形maElFAElFlmdElFAElFlNNNN321122222232111111111024.0cos1048.04（3）求节点Ａ的位移mmllEAAEAA376.1tansin21_____3__________3mmlAA24.02_____2mmAA40.1_____【例】已知AB梁为刚体，CD为拉杆，拉杆直径d=2cm,E=200GPa,FP=12kN,求B点位移。CBAFP0.75m1m1.5mDFP1m1.5mBADAyFAxFNF解：(1)受力分析，求轴力0AMsinADFABFNPkNADABFFPN50sin(2)作变形图，求B点位移EAlFlCDNCDm310CBAF0.75m1m1.5mDDBsinCDlDDCDl1Dm31067.1BABDAD~ABADBBDD)/(ABADDDBBm31017.47.4轴向拉压杆的强度计算•工作应力•失效：工作应力超过了杆件材料所能承受的极限应力；•极限应力：材料失效时的应力（试验测定）。•许用应力：构件工作应力的最大容许值（必须低于材料的极限应力）AFNunu安全系数n：n1•拉压杆的强度条件maxmaxAFN–等截面拉压杆AFNmaxmax②截面设计：NminFA,AFmaxN)(maxNPFfF根据强度条件，可解决三类强度计算问题：max①校核强度：③确定许可载荷：说明：一般工程设计的强度计算，允许最大工作应力略大于许用应力，但不得超过许用应力的5%。•例7-5螺纹内径d=15mm的螺栓，紧固时所承受的预紧力为FP＝20kN。若已知螺栓的许用应力[σ]=150MPa，试校核螺栓的强度是否安全。解：（1）确定螺栓所受轴力kNFFPN20（2）计算螺栓横截面上的工作应力MPadFAFPN2.11342（3）校核螺栓强度MPaMPa1502.113螺栓安全•例7-6三角形起重托架，杆AB为钢制圆截面杆，其许用应力[σ]s=160MPa；杆BC为木制正方形截面杆，木材的许用应力[σ]w=12MPa；起吊重量FP＝40kN，试设计各杆的截面尺寸。解：（1）受力分析，求各杆轴力kNFkNFNBANBC406.56（压力）（拉力）（2）由强度条件确定各杆截面尺寸sNBABAFdA42mmFdsNBA8.174wNBCBCFaA2mmFawNBC7.68对BA杆对BC杆可取可取mmd18mma70。sin/;/hlFABDNBDBD[练习]简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为G，为使BD杆最轻，角应为何值？已知BD杆的许用应力为[]。;BDBDlAV分析：xlhGABCDGxhFMNBDA)ctg()sin(,0coshGlFNBD/NBDFABD杆面积A：解：BD杆内力FN()：取AC为研究对象，如图FAyFAxFNBDxlGABCxABC③求VBD的最小值：;2sin][2sin/GlAhAlVBD][2,45minoGlV时FAyFAxlGFNBD•例7-7结构尺寸及受力如图。设AB、CD均为刚体,BC、EF为圆截面钢杆，直径均为d=30mm,[160MPa。试确定此时结构所能承受的许可荷载[FP]。解：（1）受力分析，求各杆轴力0,0DAMMPNoNPPNFFFFFF9.130sin2.38.38.075.33121杆EF受力较大，故其为危险杆。（2）强度计算AFN224/19.1dFPkNdFP5.599.1412例结构如图，AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成，已知材料的[]=170MPa，E=210GPa。AC、EG可视为刚杆，试选择各杆的截面型号和A、D、C点的位移。FP=300kN0.8m3.2m1.8m1.2m2m3.4m1.2mABCDFHq0=100kN/mEGkN186NEFkN24030042.3NAFkN6030048.0NDNCFFkN174NGFFNCFNADq0=100kN/mEGFNGFNEFNDACFP=300kN由强度条件求面积][iNiFA23cm12.1410170240ABA2cm5.3CDA2cm9.10EFA2cm2.10GHA解：求轴力，受力分析如图21cm212.72),55690(2:ABAAB杆21cm89.12),32540(2:CDACD杆211cm609.52),54570(2:)(GHEFAAGHEF杆以面积值查表确定钢号求变形iiNiiEAlFlmm67.21054.141.24.324041ABABNABABEAlFlmm91.0CDlmm74.1EFlmm63.1GHl作变形图，求位移mm61.22CDDClCCmm61.2ABAlABDFHEGmm70.11GHGHEFDlDGEGllDDCC1A1E1D1G1C2练习结构如图，AC、BD的直径分别为:d1=25mm,d2=18mm,已知材料的[]=170MPa,E=210GPa，AE可视为刚杆，试校核各杆的强度;求A、B、F点的位移。BFNBFP=100kNFNAAABCDFP=100kN1.5m3m2.5mF解：求轴力，受力分析如图kN7.661005.43NAFkN3.33NBF求应力，校核强度24iNiNiidFAFMPa8.135102514.37.66492AMPa131B求变形及位移iiNiiEAlFlmm62.110251.214.35.27.66422ACNAACAEAlFlmm56.1BDBlACFP=100kN1.5m3m2.5mFABFmm60.1BFBABBAF7.5拉压超静定问题•荷载作用下的拉压超静定问题两个未知力只有一个独立的平衡方程0PBAFFF补充方程021lll变形协调条件（方程）胡克定律EAlFEAlFlAN1111EAlFEAlFlBN2222021EAlFEAlFBAllFFPA2llFFPB1llFFFPAN21llFFFPBN12（压力）（拉力）0PBAFFF•变形比较法：由变形协调条件并通过考虑力与变形关系建立补充方程求解超静定问题的方法。（1）判断超静定的次数（2）画出结构可能