命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)命题:用语言、符号或式子表达的,可以_________的陈述句叫做命题.其中_________的语句叫做真命题,_________的语句叫做假命题.判断真假判断为真判断为假(2)四种命题及其相互关系:qp若，则pq若，则qp若，则(3)充要条件:若p⇒q,则p是q的_____条件,q是p的_____条件p是q的___________条件p⇒q且qpp是q的___________条件pq且q⇒pp是q的_____条件p⇔qp是q的_________________条件pq且qp充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要2.必备结论教材提炼记一记(1)四种命题中的等价关系:原命题等价于_________,否命题等价于_______,在四种形式的命题中真命题的个数只能是0或2或4.(2)等价转化法判断充分条件、必要条件:p是q的充分不必要条件,等价于﹁q是﹁p的___________条件.其他情况依次类推.逆否命题逆命题充分不必要(3)用集合的关系判断充分条件、必要条件:p成立的对象构成的集合为A,q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件_____p是q的必要条件_____p是q的充分不必要条件______p是q的必要不充分条件______p是q的充要条件____A⊆BB⊆AABBAA=BÜÜ3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:充分条件、必要条件的判断方法:定义法、集合法、等价转化法.(2)数学思想:化归与转化思想.(3)记忆口诀:真假能判是命题,条件结论很清楚.命题形式有四种,分成两双同真假.若p则q真命题,p是q充分条件,q是p必要条件,原逆皆真称充要.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)语句x2-3x+2=0是命题.()(2)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关系.()(3)命题“如果p不成立,则q不成立”等价于“如果q成立,则p成立”.()(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同.()【解析】(1)错误.无法判断真假,故不是命题.(2)错误.一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题,它们的真假性相同.(3)正确.一个命题与其逆否命题等价.(4)错误.“p是q的充分不必要条件”即为“p⇒q且qp”,“p的充分不必要条件是q”即为“q⇒p且pq”.答案:(1)×(2)×(3)√(4)×2.教材改编链接教材练一练(1)(选修1-1P8T2(1)改编)命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题为.【解析】“a,b都是偶数”的否定为“a,b不都是偶数,”“a+b是偶数”的否定为“a+b不是偶数”,故其逆否命题为“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数”.答案:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数(2)(选修1-1P10T3(2)改编)“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的条件.【解析】x=a⇒(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立,因此“(x-a)(x-b)=0”是“x=a”的必要不充分条件.答案:必要不充分3.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·北京高考)设a,b是实数,则“ab”是“a2b2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】验证充分性与必要性.【解析】选D.“ab”推不出“a2b2”,例如,2-3,但49;“a2b2”也推不出“ab”,例如,94,但-32.(2)(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”,“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.(3)(2015·焦作模拟)已知命题α:如果x3,那么x5;命题β:如果x≥3,那么x≥5;命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系.下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.A.①③B.②C.②③D.①②③【解析】选A.本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确,选A.考点1四种命题及其真假判断【典例1】(1)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是()A.否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m1”是真命题B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题是“若m1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题是“若m1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题(2)(2014·陕西高考)原命题为“若n∈N+,则{an}为递减数列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假nn1naaa,2＜【解题提示】(1)先判断否命题,逆命题、逆否命题是否正确,再判断其真假.(2)写出逆命题,利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题等价来判断.【规范解答】(1)选D.f′(x)=ex-m,由f(x)在(0,+∞)上是增函数知f′(x)≥0,即m≤ex在x∈(0,+∞)上恒成立,又ex1,从而m≤1,则原命题是真命题.对于A,否命题写错,故A错;对于B,逆命题写对,但逆命题是真命题,故B错;对于C,逆否命题写错,故C错;对于D.逆否命题写对,且为真命题,故选D.(2)选A.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真;而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真,故选A.【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错:(1)根据f(x)是增函数求错m的取值范围.(2)把“f(x)是增函数”的否定错误地认为是“f(x)是减函数”.【规律方法】1.书写否命题和逆否命题的关注点(1)一些常见词语及其否定表示:词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于(2)构造否命题和逆否命题的方法、注意点:①方法:首先要把条件和结论分清楚,其次把其中的关键词搞清楚.②注意点:注意其中易混的关键词,如“都不是”和“不都是”,其中“都不是”是指的一个也不是,“不都是”指的是其中有些不是.2.命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.(2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.【变式训练】命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数【解析】选B.条件的否定是“f(x)不是奇函数”,结论的否定是“f(-x)不是奇函数”,故该命题的否命题是“若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数”.【加固训练】1.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是()A.若α≠,则tanα≠1B.若α=,则tanα≠1C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α=【解析】选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠”,故选C.4444442.关于命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性,下列结论成立的是()A.都真B.都假C.否命题真D.逆否命题真【解析】选D.原命题为真命题,则其逆否命题为真命题.考点2充分条件、必要条件的判断知·考情充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点,常以选择题的形式出现,作为一个重要载体,考查的知识面很广,几乎涉及数学知识的各个方面,如函数、不等式、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何等知识.明·角度命题角度1:定义法判断充分条件、必要条件【典例2】(2014·湖北高考)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的()A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系、充分条件与必要条件的判断.【规范解答】选C.依题意,若A⊆C,则∁UC⊆∁UA,当B⊆∁UC,可得A∩B=∅;若A∩B=∅,不妨令C=A,显然满足A⊆C,B⊆∁UC,故满足条件的集合C是存在的.命题角度2:集合法判断充分条件、必要条件【典例3】(2014·安徽高考)“x0”是“ln(x+1)0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】分清条件和结论,根据充分条件、必要条件的定义判断.【解析】选B.由ln(x+1)0,得0x+11,即-1x0,由于{x|-1x0}{x|x0},故“x0”是“ln(x+1)0”的必要不充分条件.Ü命题角度3:等价转化法判断充分条件、必要条件【典例4】(2013·山东高考)给定两个命题p,q.若﹁p是q的必要而不充分条件,则p是﹁q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】借助原命题与逆否命题等价判断.【规范解答】选A.因为﹁p是q的必要不充分条件,则q⇒﹁p但﹁pq,其逆否命题为p⇒﹁q但﹁qp,所以p是﹁q的充分不必要条件.悟·技法充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.(2)集合法:根据p,q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.通·一类1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在,若p:f′(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】选C.因为若f′(x0)=0,则x0不一定是极值点,所以命题p不是q的充分条件;因为若x0是极值点,则f′(x0)=0,所以命题p是q的必要条件.2.(2013·湖南高考)“1x2”是“x2”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为集合(1,2)是集合(-∞,2)的真子集,所以“1x2”是“x2”成立的充分不必要条件,故选A.3.(2013·上海高考)钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的()A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件【解析】选B.“便宜⇒没好货”等价于“好货⇒不便宜”,故选B.考点3充分条件、必要条件的应用【典例5】(1)函数f(x)=有且只有一个零点的充分不必要条件是()A.a0B.0aC.a1D.a≤0或a1(2)设条件p:2x2-3x+1≤0;条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若﹁p是﹁q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.12122xlogx,x0,2a,x0【解题提示】(1)先找出充要条件,再根据集合之间的关系确定答案.(2)先解不等式把条件p,q具体化,再由互为逆否命题