二轮复习----事件的相互独立性-学案(全国通用)-(1)

事件的相互独立性学习目标1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.知识点一相互独立的概念甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球.从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”.思考1事件A发生会影响事件B发生的概率吗？答案不影响.思考2P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？答案P(A)＝35，P(B)＝12，P(AB)＝3×25×4＝310.思考3P(B|A)与P(B)相等吗？答案∵P(B|A)＝PABPA＝12，∴P(B|A)＝P(B).思考4P(AB)与P(A)P(B)相等吗？答案∵P(B|A)＝P(B)，∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝P(A)·P(B).条件A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)结论称事件A与事件B相互独立知识点二相互独立的性质条件A与B是相互独立事件结论A与BB与AA与B也相互独立类型一事件独立性的判断例1判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.解(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件.(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，∴P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16，∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A与B相互独立.反思与感悟三种方法判断两事件是否具有独立性(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.(3)条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)＝P(B)判断.跟踪训练1一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩.(2)家庭中有三个小孩.解(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立.(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}.由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件.于是P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，显然有P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立.从而事件A与B是相互独立的.类型二求相互独立事件的概率例2小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率.(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.解用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.反思与感悟明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.(2)A，B都发生为事件AB.(3)A，B都不发生为事件AB.(4)A，B恰有一个发生为事件AB＋AB.(5)A，B中至多有一个发生为事件AB＋AB＋AB.它们之间的概率关系如下表所示：A，B互斥A，B相互独立P(A＋B)P(A)＋P(B)1－P(A)P(B)P(AB)0P(A)P(B)P(AB)1－[P(A)＋P(B)]P(A)P(B)P(AB＋AB)P(A)＋P(B)P(A)P(B)＋P(A)P(B)P(A·B＋A·B＋A·B)11－P(A)·P(B)跟踪训练2甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为13、14.求：(1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有一人译出密码的概率；(4)至多一人译出密码的概率；(5)至少一人译出密码的概率.解记事件A为“甲独立地译出密码”，事件B为“乙独立地译出密码”(1)两个人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝13×14＝112.(2)两个人都译不出密码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－131－14＝12.(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出，乙译出甲译不出，即AB＋AB，∴P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝13×1－14＋1－13×14＝512.(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，∴其概率为1－P(AB)＝1－112＝1112.(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，∴其概率为1－P(AB)＝1－12＝12.类型三相互独立事件的综合应用例3甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率.解(1)设A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.由题意得PAB＝14，PBC＝112，PAC＝29，即PA[1－PB]＝14，①PB[1－PC]＝112，②PAPC＝29.③由①③得P(B)＝1－98P(C)，代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0，解得P(C)＝23或P(C)＝119(舍去).将P(C)＝23代入②得P(B)＝14，将P(B)＝14代入①得P(A)＝13.故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，则P(D)＝1－P(D)＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为56.反思与感悟本题(1)问，可利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解.跟踪训练3三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率.解记“三个元件T1，T2，T3”正常工作“分别为事件A1，A2，A3”，则P(A1)＝12，P(A2)＝34，P(A3)＝34，不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)＝[1－P(A2)·P(A3)]·P(A1)＝1－14×14×12＝1532.1.坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是()A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.不相互独立事件答案D解析互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A、C错.而事件A1的发生对事件A2的概率有影响，故两者是不相互独立事件.2.一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为()A.1－a－bB.1－abC.(1－a)(1－b)D.1－(1－a)(1－b)答案C解析∵2道工序相互独立，∴产品的正品率为(1－a)·(1－b).3.在一段时间内，甲去某地的概率为14，乙去此地的概率为15，假定两人的行动相互没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率为________.答案25解析P＝1－1－141－15＝25.4.甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：(1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有1人投中的概率.解(1)设A表示事件“甲投篮一次并且投中”，B表示事件“乙投篮一次并且投中”，则AB表示事件“两人各投篮一次并且都投中”.由题意可知，事件A与事件B相互独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.6＝0.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中，乙未投中(事件AB发生)，另一种是甲未投中、乙投中(事件AB发生).根据题意得这两种情况不可能同时发生，即事件AB与AB互斥，并且事件A与B，A与B相互独立，故所求概率为：P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.(3)事件“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事件为“两人各投篮一次，均未投中”，它的概率是P(AB)＝P(A)·P(B)＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16，因此，至少有一人投中的概率为1－P(AB)＝1－0.16＝0.84.1.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即AB＝∅概率公式A与B相互独立等价于P(AB)＝P(A)·P(B)若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立2.相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)·P(B)，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.一、选择题1.若P(AB)＝19，P(A)＝23，P(B)＝13，则事件A与B的关系是()A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B独立D.事件A与B既互斥又独立答案C解析∵P(A)＝1－P(A)＝1－23＝13，∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴A、B相互独立.2.甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射一次，那么56等于()A.甲、乙都击中靶心的概率B.甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C.甲、乙至少有一人击中靶心的概率