第3章电容元件与电感元件

第3章电容元件与电感元件前两章我们讨论了电阻电路的分析方法，实际中，组成电路的元件不仅有电阻元件，还有电感和电容元件。后两种元件与电阻元件的性质有所不同，属于动态元件。他们的伏安关系都涉及到电流、电压的微分和积分。本章介绍电容元件和电感元件的基本概念和电压、电流的约束关系，电容元件的联接和两种元件的场能。为线性元件的动态分析奠定基础。第一节电容元件一、电容元件的基本概念电容元件是电路中的一个基本元件。将两块金属板中间用绝缘介质隔开，就形成了电容器。最简单的电容器是平行板电容器。电容器有很多种类，按绝缘介质分，有有机薄膜电容器、瓷介质电容器、电解电容器等。按其形状分，有平行板电容器、圆柱形电容器、片式电容器等。电路中，除了专门制造的电容器以外，还存在着许多自然形成的电容器。如两根输电线之间，线圈各匝之间，晶体管各极之间都形成电容器。一般情况下他们的作用可忽略不计，但在高压远距离输电和高频电子线路中，他们的影响是不能忽略的。实际电容器中介质是不可能完全绝缘的，总会有电流通过介质，这一现象叫做漏电。因此，电容器还有漏电阻，忽略漏电现象的电容器，叫理想电容元件。图3-1是电容元件的图形符号。在外电源的作用下，电容器两极板上可带等量异种电荷，当外电源撤去后，极板上的电荷可长期储存。因而电容器是一种储存电场能量的器件。它的基本性能是储存电荷而产生电场。实验证明：电容器充电后每个极板上所带的电荷量q与极板间的电压uC成正比CuqC（3-1）式中比例常数C反映了电容元件容纳电荷的本领，叫做电容器的电容量，简称电容。国际单位制中，它的单位是法拉，简称法(F)。实际中也常用微法(μF)和皮法(pF)。1μF＝610F1pF＝1210F如果电容元件的电容量为常量，不随所带电荷量的变化而变化，这样的电容元件称线性电容元件。本书所讨论的如不特别说明都为线性电容元件。习惯上我们把电容元件也称为电容，因此，电容既是一种元件，也是一个量值。在电容器的铭牌上，除标明它的电容量外，还需标明它的额定工作电压。因为每个电容器允许承受的电压是有限度的，电压过高，介质就会被击穿。这个电压叫击穿电压。使电容器长期工作而不被击穿的电压叫电容器的额定工作电压。二、电容元件的约束在电路分析时往往需要知道元件的约束，这里我们来研究电容元件的约束。如图3-1所示，设电压的参考方向如箭头所指，当电压为正时，两极板堆积了等量异种的电荷，当极板上的电量或电压发生变化时，在电路中要产生电流。dtdqiCCuqdtduCiC(3-2)这就是关联参考方向下的电压电流关系。上式表明，在某一时刻电容的电流i取决于该时刻电容电压uC的变化率。当电压升高时，dtduC＞0，极板上的电荷增加，电流为正值，是充电过程。当电压下降时，dtduC＜0，极板上的电荷减少，电流为负值，是放电过程。如果电压不变，电流为零，相当于开路。这就是电容隔断直流的原因。电容电压变化越快，电流越大。因为当电压变化时聚集的电荷也相应的发生变化，只有电荷发生变化，才能形成电流。当电压不变时，聚集电荷不发生变化，所以没有电流形成。三、电容元件的电场能量如前面所述，电容元件是一种储能元件。当给电容器加上电压时，绝缘介质中就有电场，就有电场能量。我们从功率来推算能量，功率可由电容元件的两端电压和流过电流的乘积计算。当电流和电压选取关联参考方向时，电容元件的瞬时功率：dtduCuiupCCC当p0时，电容吸收功率，处于充电状态。当p0时，电容释放功率，处于放电状态。dtdwpc200021CCCtCCttcCuduuCdtdtduuCdtpw（3-3）上式表明，电容器在某一时刻的储能，只与此时的电压有关，而与电流无关。例3-1已知加在电容器C=1000µF上的电压如图3-2（a）所示，求电容电流并绘制其波形图。解当0≤t≤2.5s时，电压从零均匀上升到100V，其变化率为dtduC=5.20100=40V/s04.040103dtduCiCA当2.5s≤t≤7.5s时，电压从100V均匀下降到－100V，其变化率为dtduC=5.25.7100100=－40V/s04.0)40(103dtduCiCA当7.5s≤t≤10s时，电压从－100V均匀上升到0，其变化率为dtduC=5.710)100(0=40V/s04.040103dtduCiCA绘制的波形图如图3-2(b)所示。四、电容器的串联与并联（一）电容器的串联几个电容器首尾依次相接，联成一个无分支电路的联结方式叫电容器的串联。如图3-3所示，三个电容器串联，接到电压为u的电源上，两极板分别带上等量异种的电荷，中间各极板由于静电感应出现等量异种的感应电荷。可以看出，各电容器的电荷量为q，总电荷量也为q。如果三个电容器的电容为1C、2C、3C，那么有11Cqu22Cqu33CququCuCuC332211321321111CCCquuuu3211111CCCC(3-4)上式表明：电容器串联时，各电容的电压与电容成反比。串联电容器的等效电容的倒数等于各电容倒数的总和。串联电容的等效电容小于每个电容，每个电容的电压都小于总电压。实际中当每个电容的耐压小于电源电压时，可采用电容器串联的方式。（二）电容器的并联将几个电容器的两个极板分别联在一起，接在同一对节点之间，就形成了电容器的并联联接。如图3-4所示，三个电容分别是1C、2C、3C，他们的电压都为u，他们所带的电量分别为uCq11uCq22uCq33总电量为各个电容器的电量之和，uCCCqqqq321321321CCCC（3-5）由此得知，并联电容器的等效电容等于各电容的电容之和。并联电容器越多，等效电容越大。因此，当电容器的耐压足够而电容不够时，可采用电容器并联的形式。综上所述，当电容器的电容和耐压都不够时，可以采用既有串联又有并联的电路，即混联电路。例3-2将电容为FC2001，FC502，耐压同为100Ｖ的两个电容串联起来，他们的端电压和等效电容为多少？解等效电容4050200502002121CCCCCF36111102010010200uCqC362221051001050uCqC3105qC端电压为631040105Cqu125V第二节电感元件一、电感元件的基本概念电感元件也是电路的基本元件之一，是实际电感线圈理想化的模型。电感元件是储能元件。当导线中有电流通过时，在它周围就产生了磁场。通过电流而产生磁场是线圈的基本性能。在图3-5（a）所示电感线圈中，当电流与磁通两者的参考方向符合右手螺旋定则时，若线圈中通过变化的电流i时，则穿过线圈的磁通Φ也发生变化。这就是自感现象，各匝线圈的磁通之和叫自感磁链Ψ（Ψ=NΦ），一个线圈的自感磁链与所通电流的比值iLL叫做电感线圈的自感系数，简称电感。线圈的电感决定于线圈的形状、尺寸和媒质。电感的单位是亨利，简称亨(H)。工程计算时，有时还用毫亨（mH)、微亨(µH)等作为其单位，换算关系为1mH=310H1µH=610H（a）(b)图3-5线圈与电感元件电感元件是一种理想的二端元件，是实际线圈的理想化电路模型。电感元件的图形符号如图3-5（b）所示。如果电感元件的电感为常量，这种电感元件就称为线性电感元件。除非特别说明，否则本书所遇到的电感元件均为线性电感元件。在电感线圈上除要标明它的电感量外，还要标明它的额定工作电流。因为电流过大，会使线圈过热或使线圈受到过大的电磁力的作用发生机械形变，甚至烧毁。电感元件也简称电感，所以电感可以是指电感元件，也可以是电感元件的参数。二、电感元件的约束前面我们介绍了电感的定义，在电路分析中我们还要研究电感元件的约束。我们已经知道当电感元件中通以变化的电流时，就会在电感元件中产生随之变化的磁链。根据法拉第电磁感应定律，电感两端就会有感应电压，感应电压的大小等于磁链的变化率。当选择电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋法则时，有dtduL若电流与磁链的参考方向也符合右手螺旋法则，即电压与电流满足关联参考方向时，则dtdiLdtdLiuL（3-6）这就是电感元件的约束。上式表明，在某一时刻电感的电压取决于该时刻电流的变化率。当电流不变化时，0dtdi，则0Lu；当电流变化很快时，dtdi越大，电压Lu越大。三、电感元件的储能电感元件是一种储能元件，线圈中有电流通过时，不仅在周围产生磁场，而且还储存着磁场能量，这一能量来自于电源。在电流变化时，就产生相应的变化电压，这时电感从电源吸收能量的快慢即功率为iL＋－uABii＋－uL,LdtdiLiiupL当功率大于零时，说明电感元件从电源吸取能量。当功率小于零时，说明电感元件向电源释放能量。在时间从零变化到t，电流从零增加到i时，电感的磁场能量为dt段时间增加能量的总和。即200021LiidtLdtdtdiLipdtWtttL（3-7）上式表明，电感元件并不消耗能量，而是一个储能元件。电感L在某一时刻的储能只与该时刻的电流有关，电感电流反映了电感的储能状态。电流增加时，吸收能量。电流减少时，释放能量。根据式(3-6)可知，电感上的电压与电流是微分函数关系。所以电感元件是一种动态元件。例3-2已知电感元件的电感L=0.1H,流过它的电流是如图3-6（a）所示的梯形波，求：（1）电压及其波形图；（2）电感元件吸收的瞬时功率，并画出其波形图。解（1）当0≤t≤2s时，电流从零均匀上升到4A，其变化率为2204dtdiA/s2.021.0dtdiLuLV当2≤t≤6s时，电流为4A，其变化率为零。001.0dtdiLuL当6≤t≤10s时，电流从4A均匀下降到－4A，其变化率为sAdtdi/2610442.0)2(1.0dtdiLuLV当10≤t≤14s时，电流为－4A，其变化率为零。001.0dtdiLuL当14≤t≤16s时，电流从－4A均匀上升到0，其变化率为22)4(0dtdiA/s2.021.0dtdiLuLV根据所计算的数据绘出的电压波形图如图3—6(b)所示。（2）根据iupL，当0≤t≤2s时p=0.4t当2≤t≤6s时，p=0当6≤t≤8s时p=-0.4t当8≤t≤10s时p=0.4t当10≤t≤14s时p=0当14≤t≤16s时p=-0.4t由此绘出如图当3-6（c）所示的瞬时功率波形图。通过本例可知，电压是一矩形波。电流增大时，电压为正值，电流减小时，电压为负值，电流不变时，电压为零。功率为正值时，电感元件吸收能量。功率为负值时，电感元件释放能量。本章小结交流电路一般由理想电源、理想电阻、电感和电容元件组成，本章介绍了电容元件与电感元件，他们是实际元件理想化的电路模型。1．电容元件电容是反映电容器容纳电荷本领的物理量，在数值上等于电荷量与电压的比值。线性电容C是一常数。在某一时刻，电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率。dtduCiC电容元件的储能221CCCuw2．电感元件电感是反映电感线圈产生磁场能力大小的物理量，它在数值上等于通过单位电流的自感磁链iL感应电压等于磁链的变化率dtdiLuL电感元件的储能221LiwL思考题与习题3-1电容器串、并联的特点是什么？3-2“电容器带电多电容就越大，带电少电容就小，不带电则无电容”这种说法对吗？为什么？3-3电感L与哪些因素有关？3-4如果一个电感线圈两端的电压为零，是否有可能储能？3-5如图3-7所示，已知C1＝C4＝6μF，C2＝C3＝12μF，求当开关闭合或打开时的等效电容。3-6电容为C1＝25μF，C2＝50μF的两个电容额定电压同为250V，求串联后的等效电容为多少？总耐压为多少？3-7如图3-8所示，C1＝C2＝C3＝40μF，U1＝180V，求电路的等效电容和总电压