FDTD数值计算在微带天线研究中应用

1/86电磁场期末课题报告FDTD数值计算在微带天线分析中的应用合作成员：竺可桢学院：混合005班张丹（3003001102）混合007班邓坚（3003001152）分工情况：张丹（3003001102）：负责理论阐述，公式推导，理论计算邓坚（3003001152）：负责程序实现，matlab仿真日期：2003年1月8日2/86目录时域有限差分基本知识概述3标量麦克斯韦方程4FDTD方程6解的稳定条件9边界条件12激励源的类型14时域有限差分在微带天线中的应用15微带贴片天线数值模拟的若干问题16微带天线FDTD数值计算模拟实例21微带天线数值计算的基本理论介绍21激励源的设置22边界的处理22散射效应25有效长度，有效宽度以及谐振频率27程序原代码29Main函数部分29Coefficient函数部分40FT函数部分51Impendence函数部分55output函数部分61parameter函数部分62pattern函数65图形显示程序71程序分析74信号源74参数计算74场量的计算75等效电阻的计算77傅立叶变换77空间的方向图78部分语句的诠释80程序结果81方向图824个面上的辐射方向的截面图83心得体会84参考文献…………………………………………………………………………………………853/86FDTD数值计算在微带天线分析中的应用时域有限差分基本知识概述时域有限差分（FDTD）方法是60年代由K.S.Yee首先提出来，不仅在三维空间对场量离散，而且在时间轴上也对场量离散，并且用差分代替微分，得到麦克斯韦方程在一定边值与初值条件下的近似解。作为麦克斯韦方程的基本方程取为：HEt(1.1)DHt(1.2)式中：DE了解E和D及H和B的关系很重要。在真空和自由空间中，它们存在着简单的比例关系，即00BHDE其中70410/Hm，1903610/Fm称为真空中的电容率。在一般各向同性媒质中具有简单关系式：BHDE和分别是媒质的磁导率和电容率对于各向异性媒质，上述关系变为下式：BHDE式中和分别称为张量磁导率和张量电容率。此处B的每一个分量和H的三个分量都有关（D和E关系相似）,例如等离子体和铁氧体的张量磁导率和张量电容率在忽略损耗时可分别为：1112212200001和11122122330000一般的讲，均匀各项同性媒质中和是标量常数。对于非均匀各项同性媒质中，和是随空间位置而变化的标量。对于各向异性媒质，和是张量，均匀还是不均匀取决于和是否随位置的变化而变化。麦克斯韦方程的另外一种解的形式是它的时谐场形式。假定电磁场随时间变化具有以下形式：4/860,,,,jwtExyzExyze0,,,,jwtHxyzHxyze对于无源区麦克斯韦第一、第二方程式化为复数形式HjEjjEEjH(1.3)引入复数介电常数形式jj同理，在有磁损耗时亦可以表示为复数形j自然界中很多媒质如水、铁磁材料、等离子体、生物体、各种吸波材料，通常其复介电常数、复磁导串是频率的函数。对于这种媒质，存在下述关系式：BHDE上述方程都是麦克斯韦方程在频域内的形式。而FDTD算法的主旨在于把场的问题在时域内进行计算，其基本方程的得到是先将麦克斯韦的旋度方程在直角坐标系中展成六个标量场分量的方程，再将问题空间沿三个轴向分成很多网格单位，每个单位长度作为空间变元，响应得出时间变元。用有限差分式表示关于场分量对空间和时间分量的微分。标量麦克斯韦方程假定研究的空间是无源的，并且媒质参数,,,s不随时间而变化，在直角坐标系,,xyz中，麦克斯韦方程（1.1）和（1.2）将化为下列六个标量方程：5/86yzxxzyyxzyzxxzyyxzHHEyztHHEzxtHHExytEEsHzytEEsHxztEEsHyxt(1.4)当不考虑磁损耗时，令0s，则以上方程与麦克斯韦方程等效。上述六个方程构成了完整三维问题的情形。在实际中，往往会遇到被研究模型沿一个轴向或二个轴向不变化的特殊情形。对于前者，设沿z向不变化(二维情形)，亦即是全部场分量对z的偏导数等于0，则上述方程组简化为二组独立的标量方程组，一组称为横磁模(TM)，另一组为横电模(TE)。对于后者，设被研究模型沿z和x二个轴向(一维情形)上无变化，即对z和x的偏导数为0，此时上述方程级简化为仅有二个场分量的标量方程组，称为横电磁横(TEM)。各简化情形的方程组如下1．二维情形对于TM模0,0zHzyzzzxzyHHExytEsHytEsHxt对于TE模0,0zEzxxzyyxzHEytHExtEEsHyxt2．一维情形6/86此时为TEM模0zx，分二种情形仅有zE，xHxzzxHEytEsHyt仅有xE，zHzxxzHEytEsHytFDTD方程将麦克斯韦六个标量方程中场分量对坐标和时间的偏导数用有限差分式来表示。其基本做法是，将问题空间沿三个坐标轴向上分成很多网格单元，用x、y和z分别表示单元沿三个铀向的长度，用t表示时间增量。网格元顶点的坐标(x，y，z)可记为,,,,ijkixjykz任意—个空间和时间的函数可表示为,,,,,FijkFixjykznt这里,,ijk和n为整数。其次，用中心有限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数，这种差分式具有二阶精度，其表示式为：21/21/2211,,,,,,22,,,,,,nnnnnnFijkFijkFijkOxxxFijkFijkFijkOttt(1.5)为了实现空间坐标的差分计算，并考虑到电磁场在空间相互正交和铰链的关系，在基本网格单元上六个场分量的怔旨如图1．1所示7/86考虑到在时间上E和H有半个时间步的变化，由(1.4)方程组的第一式得到：1/21/21/21/211/2,1/2,1/2,1/2,1/2,,1/21/2,,1/21/2,,1/2,,1/2,,21/2,,1/2,,1/2,,2nnzznnyyxxnxxxnxHijkHijkyHijkHijkzijkijkEijktijkijkEijkt取磁场分量的规一化值，即00/HH，则由上式可以解出11/2,,nxEijk。对其余用相似的过程，在下文中仍用H表示H值则可得六个场分量的有限差分式如下：11/21/21/21/21/2,,1/2,,1/2,,1/2,,1/2,1/2,1/2,1/2,/1/2,,1/21/2,,1/2/nxnxxnnxzznnyyEijkDijkEijkCijkHijkHijkyHijkHijkz(1.6)8/8611/21/21/21/2,1/2,,1/2,,1/2,,1/2,,1/2,1/2,1/2,1/2/1/2,1/2,1/2,1/2,/nynyynnyxxnnzzEijkyDijkEijkCijkHijkHijkzHijkHijkx(1.7)11/21/21/21/2,,1/2,,1/2,,1/2,,1/21/2,,1/21/2,,1/2/,1/2,1/2,1/2,1/2/nznxxnnzyynnxxEijkDijkEijkCijkHijkHijkxHijkHijky(1.8)11/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1,1/2,/,1,1/2,,1/2/nxnxxnnxyynnzzHijkDijkHijkCijkEijkEijkzEijkEijky(1.9)11/21/2,,1/21/2,,1/21/2,,1/21/2,,1/21,,1/2,,1/2/1/2,,11/2,,/nynyynnyxynnxxHijkDijkHijkCijkEijkEijkxEijkEijkz(1.10)11/21/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1,1/2,,/1,1/2,,1/2,/nznzznnzxxnnyyHijkDijkHijkCijkEijkEijkyEijkEijkx(1.11)式中9/861000010000,,,,,,2,,,,,,2,,,,,,2,,,,,,2ijkijkCijktijkijkDijktsijkijkCijktsijkijkDijkt下标表示x,y,z其中任意一个。以上是三维扬分量的时域有限差分算法式，至于二维和一维的特殊情形侧很易由相似的过程得到。可以看出，在任意时间步上空间网格任意点上的电场值取决于三个因素：(1)该点在上一时间步的电场值。（2）与该电场正交平面上邻近点处在上一时间步上的磁场值。(3)媒质的电参数和。磁场值有相似情形。因此在任意给定的时间步上，场矢量的计算可以一次一点的进行。昔使用p个并行的处理器，则也可以一次在p个点上进行。解的稳定条件在执行形如上式FDTD算法时，随着时间步的增长，保证算法的稳定性是一个很重要的问题。数值解是否稳定主要取决于时间步长t与空间步长,,xyz间的关系。下面来推导关于解稳定性的判别式。为方便起见，考虑一个无损耗空间,0,0,s，取磁场矢量的规一化值(即HH)，则可将麦克斯韦方程重写为：EHtHEt将二式合并，并令VHjE，得jVVtVHjE考虑下列本征值问题1VVtjVV将上式对时间的偏导数写成差分式，得10/861122nnnVVVt定义12/nnqVV为解的增长因子，代入上式解出q122122ttq