一元函数微分学综合练习题-(1)

第二章综合练习题一、填空题1.若21lim11xxxbx，则b________.2.若当0x时，1cosx与2sin2xa是等价无穷小，则a________.3.函数21()1lnfxx的连续区间为________.4.函数2()ln|1|xfxx的无穷间断点为________.5.若21sin,0,(),0,xxfxxaxx„在R上连续，则a________.6.函数()sinxfxx在R上的第一类间断点为________.7当x时，11xe是无穷小量8设21,10(),012,12xxfxxxxx，()fx在处间断9当0x时，arctanx是x的阶无穷小量10极限2352limsin53xxxx二、选择题1.设数列1,1,1nnnunn为奇数,为偶数,则当n时，nu是（）A.无界变量B.无穷大量C.有界变量D.无穷小量2.函数()fx在0x连续是函数在0x处存在极限的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件3.0sin()sinlimxxx的值是（）A.sinB.cosC.1D.极限不存在4.2lim1nnnn的值是（）A.1B.0C.12D.因为当n时，分母为0，因此极限不存在5.下列极限正确的是（）A.01sinlim11xxxB.1sinlim11xxxC.01limsin1xxxD.1limsin0xxx6.设函数在点处连续，则下列陈述中不正确的是（）A.()fx在点0x处有定义B.()fx在点0x处的左极限存在C.()fx在点0x处可导D.()fx在点0x处的值与0lim()xxfx相等三、计算题1.求下列极限：（1）22lim(11)nnn（2）41sin2lim1cos4xxx（3）0lim1cosxxx（4）011limnxxx（5）11limxxx（6）201sin1lim1xxxxe2.设(),1;()3134,1abxbxfxxxx，求,ab，使()fx在1x处连续。3.求k，使xxx与kx为当0x时的等价无穷小。4.求函数tan()4()(1)xxfxx在区间(0,2)内的间断点，并判断其类型。证明题1.证明：方程sin10xx在开区间,22内至少有一个实根。2.设()fx在[,]ab上连续，且acdb，,0pq，证明在[,]ab上至少存在一点，使得()()()()pfcqfdpqf.3.设()fx在[,]ab上连续，且恒为正，证明：对于任意1212,(,)()xxabxx，在12[,]xx上至少存在一点，使得12()()()ffxfx.第三章综合练习题一、选择题1.若'()fak存在，则1lim(()())hfafahh（）（A）k(B)k(C)0(D)不存在2.若()(),limfxfaAAxaxa为常数，则以下结论不正确的是：（A）()fx在点xa处连续（B）()fx在点xa处可导（C）()limfxxa存在(D)()()()fxfaAxa3.函数1()1xyfx满足'()arctanfxx，则2dydxx（A）arctan2(B)23(C)0(D)34.设)(xf在0x的附近有定义，则下列选项中与命题“'()0fx存在”不等价的是：（A）()()00lim0fxkxfxxx存在（01k或）(B)(())()00lim,()0fxaxfxaxx其中()0,lim()00axaxx且(C)1lim[(()())]000xfxfxxx存在(D)()()00limsin0fxxfxxx存在5.若在(,)ab内，函数()fx的一阶导数'()0fx，二阶导数()0fx，则函数()fx在此区间内(A)单调减少，曲线是凹的(B)单调减少，曲线是凸的(C)单调增加，曲线是凹的(D)单调增加，曲线是凸的6.设()fx在(,)有定义，0x是()fx的极大值点0(0)x，则(A)0x必是()fx的极小值点(B)0x是()fx的驻点(C)0x是()fx的极大值点(D)对一切x有0()()fxfx7.设()fx在闭区间[,]ab有定义，在(,)ab内可导，则(A)当()()0fafb，存在(,)ab，使()0f(B)对任意(,)ab，有lim(()())0xfxf(C)当()()fafb时，存在(,)ab使'()0f(D)存在(,)ab，使'()()()()fbfafba8.已知函数()yfx对一切x满足'2()3[()]1xxfxxfxe，若'00()0(0)fxx，则(A)0()fx是()fx的极大值(B)0()fx是()fx的极小值(C)00(,())xfx是曲线()yfx的拐点(D)以上均不对二、填空题1.曲线2ln1xyy在点(1,1)处的法线方程是2.某企业每月生产q吨产品时总成本c函数为2()1020cqqq则每月生产产品8吨时的边际成本是3.设()yyx是由方程tan()xxy所确定的隐函数则22dydx4.设函数()fx的二阶导数存在，则()()2()lim20fxhfxhfxhh5.21()1xxfxaxbx，在1x处连续且可导，则a，b6'(sinln)xx7设2ln1yx，dy8设函数()fx在0x处可导，且(0)0f，则0()limxftxx9()yfx是由方程2cosxyeyx确定的隐函数，则dydx10.0lnlimln(1)xxxe；11.设32()6fxaxaxb在区间[1,2]上的最大值为3，最小值为29，又知0a，则a，b；12.设在[0,1]上()0fx，则''(0),(1),(1)(0)ffff的大小顺序是；13.曲线21xyxe的垂直渐近线是；14.'0()0fx是可导函数()fx在点0x处有极值的条件；15.曲线2xye上凸区间是。三、计算1．设ln(1)()11xfxxx1001xx，讨论()fx在0x处的连续性与可导性。2.设()fx在1x处具有连续导数，且'(1)3f，求(cos)lim0dfxdxx3.设2()2||,fxxxx求'()fx，并证明(0)f不存在。4.设()fx在(0,)上连续，,(0,)12xx满足()()()1212fxxfxfx，已知'(1)f存在，且'(1)1f，试证明()fx在(0,)内可导，并求'()fx5设,0()12,0axfxxxbx在0x处可导，求a与b6设曲线3()fxxax与2()gxbxc都通过点(1,0)，且在点(1,0)有公切线，求,,abc7已知11(1)xyx，求'1xy8、函数的导函数为单调函数，问此函数是否也是单调函数？举例说明。9、确定函数22lnyxx的单调区间10、设()fx具有一阶连续导数，且'(0)0,(0)2ff，求20(1cos)limtanxfxx11、210arcsinlim()xxx12、确定曲线4yx的凸向与拐点13、函数()yyx由方程3222221yyxyx所确定，求()yyx的驻点，并判别它是否为极值点四、应用题1、某商品的需求量Q关于价格P的函数为275QP（1）求4P时的需求价格弹性并说明经济意义；（2）4P时，若价格提高001，总收益是增加还是减少？变化百分之几？2、设某产品的成本函数为2Caqbqc，需求函数为1()qdPe其中C为成本，q为需求量（也是产量），P为单价,,,,,abcde都是正的常数,且db,求：1)需求价格弹性2)需求价格弹性的绝对值为1时的产量3、某商品进价为a（元/件），据经验，当销售价为b（元/件）时，销售量为c件（,,abc为正数，且43ba）市场调查表明，销售价每下降0010，销售量可增加0040，现决定一次性降价，问当销售价定为多少时，可获最大利润，并求最大利润证明题1、证明函数1,0()10,0xxxfxex在0x处不可导2.证明方程510xx只有一个正根3.已知函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且()()0fafb，试证明：在(,)ab内至少存在一点，使得'2()()0ff4.已知函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且()()0fafb，又有(,)cab使得()0fc，试证明：在(,)ab内至少存在一点，使得()0f.。5设()fx在0,a上连续，在(0,)a内可导，且(0)0f，'()fx单调增加，则()fxx在(0,)a内也单调增加。6、证明ln(1)(1)ln1xxxxx7、23ln(1)(0)23xxxxx8、设()()(),()fxfaFxxaxa其中()fx在,a上连续，()fx在,a内存在且大于零，求证()Fx在,a内单调递增。9、证明32432axbxcxabc在(0,1)内至少有一根。10、设0ab，()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，证明存在(,)ab，使