中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案

1第三章中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中,在1,1上满足罗尔定理条件的函数是()A．18xyB．142xyC．21xyD．xysin2．函数xxf1满足拉格朗日中值定理条件的区间是()A．2,2B．0,2C．2,1D．1,03．方程0155xx在1,1内根的个数是()A．没有实根B．有且仅有一个实根C．有两个相异的实根D．有五个实根4．若对任意bax,，有xgxf，则()A．对任意bax,，有xgxfB．存在bax,0，使00xgxfC．对任意bax,，有0Cxgxf(0C是某个常数)D．对任意bax,，有Cxgxf(C是任意常数)5．函数3553xxxf在R上有()A．四个极值点；B．三个极值点C．二个极值点D．一个极值点6．函数7186223xxxxf的极大值是()A．17B．11C．10D．97．设xf在闭区间1,1上连续，在开区间1,1上可导，且Mxf，00f，则必有()A．MxfB．MxfC．MxfD．Mxf8．若函数xf在ba,上连续，在ba,可导，则()A．存在1,0，有ababfafbfB．存在1,0，有ababafbfaf2C．存在ba,，有bafbfafD．存在ba,，有bafafbf9．若032ba，则方程023cbxaxxxf()A．无实根B．有唯一的实根C．有三个实根D．有重实根10．求极限xxxxsin1sinlim20时，下列各种解法正确的是()A．用洛必塔法则后，求得极限为0B．因为xx1lim0不存在，所以上述极限不存在C．原式01sinsinlim0xxxxxD．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在11．设函数212xxy，在()A．,单调增加B．,单调减少C．1,1单调增加，其余区间单调减少D．1,1单调减少，其余区间单调增加12．曲线xeyx1()A．有一个拐点B．有二个拐点C．有三个拐点D．无拐点13．指出曲线23xxy的渐近线()A．没有水平渐近线，也没有斜渐近线B．3x为其垂直渐近线，但无水平渐近线C．即有垂直渐近线，又有水平渐近线D．只有水平渐近线14．函数312321xxxf在区间2,0上最小值为()A．4729B．0C．1D．无最小值15．求201lnlimxxxx316．求xxx11ln1lim017．求xxx3cossin21lim618．求xxx1201lim19．求xxarctgxln12lim20．求函数149323xxxy的单调区间。21．求函数xxeey2的极值。22．若0x，证明xex1/23．设0x，证明xxxx1ln22。24．求函数xxy2ln的单调区间与极值。25．当a为何值时，xxay3sin31sin在3x处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值。26．求内接于椭圆12222byax，而面积最大的矩形的边长。27．函数dcxbxaxy230a的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。28．试证xxysin的拐点在曲线22244xxy上。29．试证明曲线112xxy有三个拐点位于同一直线上。30．试决定223xky中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。(B)1．函数328xxxf，则()4A．在任意闭区间ba,上罗尔定理一定成立B．在8,0上罗尔定理不成立C．在8,0上罗尔定理成立D．在任意闭区间上，罗尔定理都不成立2．下列函数中在e,1上满足拉格朗日定理条件的是()A．xlnlnB．xlnC．xln1D．x2ln3．若xf为可导函数，为开区间ba,内一定点，而且有0f，0xfx，则在闭区间ba,上必有()A．0xfB．0xfC．0xfD．0xf4．若xf在开区间ba,内可导，且对ba,内任意两点1x，2x恒有21212xxxfxf则必有()A．0xfB．xxfC．xxfD．Cxf(常数)5．设xgxfxx0lim为未定型，则xgxfxx0lim存在是xgxfxx0lim也存在的()A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件6．已知xf在ba,上连续，在ba,内可导，且当bax,时，有0xf，又已知0af，则()A．xf在ba,上单调增加，且0bfB．xf在ba,上单调减少，且0bfC．xf在ba,上单调增加，且0bfD．xf在ba,上单调增加，但bf正负号无法确定7．函数xarctgxy的图形，在()A．,处处是凸的B．,处处是凹的C．0,为凸的，在,0为凹的D．0,为凹的，在,0为凸的58．若在区间ba,内，函数xf的一阶导数0xf，二阶导数0xf，则函数xf在此区间内是()A．单调减少，曲线上凹B．单调增加，曲线上凹C．单调减少，曲线下凹D．单调增加，曲线下凹9．曲线2535xy()A．有极值点5x，但无拐点B．有拐点2,5，但无极值点C．5x有极值点且2,5是拐点D．既无极值点，又无拐点10．设函数xf在ax的某个邻域内连续，且af为其极大值，则存在0，当aax,时，必有()A．0afxfaxB．0afxfaxC．0lim2xtxftfataxD．0lim2xtxftfatax11．抛物线342xxy在顶点处的曲率及曲率半径为多少？正确的答案是()A．顶点1,2处的曲率为21，曲率半径为2B．顶点1,2处的曲率为2，曲率半径为21C．顶点2,1处的曲率为1，曲率半径为1D．顶点2,1处的曲率为21，曲率半径为212．设函数xfy在0xx处有00xf，在1xx处1xf不存在，则()A．0xx及1xx一定都是极值点B．只有0xx是极值点C．0xx与1xx都可能不是极值点D．0xx与1xx至少有一个点是极值点13．求极限xxx0lim。614．求xxeexxxsinlimsin015．求111111limnnnarctgnarctgn16．试证当01ba时，12xbaxxxf取得极值。17．求由y轴上的一个给定点b,0到抛物线yx42上的点的最短距离。18．设xf在1,0上可导，且10xf，对于任何1,0x，都有1xf，试证：在1,0内，有且仅有一个数x，使xxf。19．设xf在2,1上具有二阶导数xf，且012ff，如果xfxxF1，证明至少存在一点2,1，使0F。20．设xf在ba,上连续，在ba,内二阶可导且0bfaf，且存在点bac,，使得0cf，试证至少存在一点ba,，使得0f。(C)1．函数311111ln2xxxexxf当当它在3,1e内()A．不满足拉格朗日中值定理的条件B．满足拉格朗日中值定理的条件，且ee539C．满足中值定理条件，但无法求出的表达式D．不满足中值定理条件，但有ee539满足中值定理结论2．若xf在区间,a上二次可微，且0Aaf，0af，0xf(ax)，则方程0xf在,a上()A．没有实根B．有重实根7C．有无穷多个实根D．有且仅有一个实根3．设xf有二阶连续导数，且00f，1lim0xxfx则()A．0f是xf的极大值B．0f是xf的极小值C．0,0f是曲线xfy的拐点D．0f不是xf的极值，0,0f也不是曲线xfy的拐点4．求3231112sinlimxxxxxx5．求xexxx101lim6．设函数xf二次可微，有0xf，00f，证明函数0,00,xfxxxfxF是单调增函数。7．研究函数1xexxf的极值。8．若xf在ba,上有二阶导数xf，且0bfaf，试证在ba,内至少存在一点，满足afbfabf24。9．设xf在1,0上具有二阶导数，且010ff，1min10xfx，证明：存在一点1,0使8f。10．设xyy是一向上凸的连续曲线，其上任意一点yx,处的曲率为211y，且此曲线上点1,0处的切线方程为1xy，求该曲线方程，并求函数xyy的极值。第三章中值定理与导数的应用(A)81．在下列四个函数中,在1,1上满足罗尔定理条件的函数是(B)A．18xyB．142xyC．21xyD．xysin2．函数xxf1满足拉格朗日中值定理条件的区间是(C)A．2,2B．0,2C．2,1D．1,03．方程0155xx在1,1内根的个数是(B)A．没有实根B．有且仅有一个实根C．有两个相异的实根D．有五个实根4．若对任意bax,，有xgxf，则(D)A．对任意bax,，有xgxfB．存在bax,0，使00xgxfC．对任意bax,，有0Cxgxf(0C是某个常数)D．对任意bax,，有Cxgxf(C是任意常数)5．函数3553xxxf在R上有(C)A．四个极值点；B．三个极值点C．二个极值点D．一个极值点6．函数7186223xxxxf的极大值是(A)A．17B．11C．10D．97．设xf在闭区间1,1上连续，在开区间1,1上可导，且Mxf，00f，则必有(C)A．MxfB．MxfC．MxfD．Mxf8．若函数xf在ba,上连续，在ba,可导，则(B)A．存在1,0，有ababfafbfB．存在1,0，有ababafbfafC．存在ba,，有bafbfaf9D．存在ba,，有bafafbf9．若032ba，则方程023cbxaxxxf(B)A．无实根B．有唯一的实根C．有三个实根D．有重实根10．求极限xxxxsin1sinlim20时，下列各种解法正确的是(C)A．用洛必塔法则后，求得极限为0B．因为xx1lim0不存在，所以上述极限不存在C．原式01sinsinlim0xxxxxD．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在11．设函数212xxy，在(C