古典概型与几何概型

12.2古典概型与几何概型第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点考纲要求-2-考纲要求:1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.4.了解几何概型的意义.第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点知识梳理-3-1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.3.古典概型的概率公式P(A)=𝐴包含的基本事件的个数基本事件的总数.第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点知识梳理-4-4.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)特点:①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.5.随机模拟方法使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.(3)公式:P(A)=构成事件𝐴的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点双击自测-5-234151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(4)在古典概型中,每个基本事件的概率都是;如果某个事件A包括的结果有m个,则.()(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()1𝑛P(A)=𝑚𝑛×√×√√第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点双击自测-6-23415答案解析解析关闭从15个球中任取2个球,其中白球的个数服从超几何分布,根据超几何分布的概率公式,得所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为C101C51C152=10×515×7=1021.答案解析关闭B2.(2015广东,理4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为()A.521B.1021C.1121D.1第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点双击自测A.π8B.1-π8C.π4D.1-π4-7-23415答案解析解析关闭如图,正方形的边长为4,图中白色区域是以AB为直径的半圆,当M落在半圆内时,∠AMB90°,所以使∠AMB90°的概率P=𝑆半圆𝑆正方形=12×π×2216=π8.故选A.答案解析关闭A3.(2015河北保定一模)在边长为4的正方形ABCD内任取一点M,则∠AMB90°的概率为()第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点双击自测-8-23415答案解析解析关闭根据条件得P=C11C11+C11C21+C11C21C42=56或P=1-C22C42=56.答案解析关闭564.(2015江苏,5)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点双击自测-9-23415答案解析解析关闭设圆的半径为R,由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形,其直角边长为√2R,则所求事件的概率为P=𝑆阴𝑆圆=12×√2𝑅×√2𝑅π𝑅2=1π.答案解析关闭1π5.如图,圆中有一内接等腰三角形.假设你在图中随机撒一把黄豆,则它落在阴影部分的概率为.第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点双击自测-10-23415自测点评1.一个试验是不是古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型.2.“几何概型”与“古典概型”两者共同点是基本事件的发生是等可能的,不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概型中基本事件的个数是有限的.3.几何概型中,事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关.4.与线段长度有关的几何概型,直接利用两条线段的长度之比即可;与时间有关的几何概型,求时间段之比即可.第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点核心考点考点1简单的古典概型的概率例1(1)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.38C.58D.78-11-考点1考点2考点3答案解析解析关闭(方法一)由题意知基本事件总数为24=16,对4名同学平均分组共有C42A22=3(种),对4名同学按1,3分组共有C41种,所以周六、周日都有同学参加共有3×A22+C41A22=14(种).由古典概型得所求概率为1416=78.(方法二)由题意知基本事件总数为24=16.周六没有同学参加公益活动即4位同学均在周日参加公益活动,此时只有一种情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有16-2=14(种).故所求概率为1416=78.故选D.答案解析关闭D考点5考点4知识方法易错易混第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点核心考点-12-答案解析解析关闭将四封不同的信随机放入4个不同的信封中,每个信封至少有一封信的放法有A44=24种,其中信a放入A中的结果有A33=6种,故“信a没有放入A中”的概率为1-A33A44=1-624=1-14=34.答案解析关闭34考点1考点2考点3考点5考点4(2)(2015江西南昌一模)将a,b,c,d四封不同的信随机放入A,B,C,D4个不同的信封里,每个信封至少有一封信.其中a没有放入A中的概率是.知识方法易错易混第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点核心考点-13-考点1考点2考点3考点5考点4思考:如何求古典概型的概率?解题心得:1.求古典概型的概率的思路是:先求出试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,然后代入古典概型的概率公式.2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数时,应用两个原理及排列与组合的知识进行求解.知识方法易错易混第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点核心考点-14-答案解析解析关闭任意选择3天共有C103=120种方法,其中3天是连续3天的选法有8种,故所求概率为P=8120=115.答案解析关闭115考点1考点2考点3考点5考点4对点训练1(1)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是.(结构用最简分数表示)知识方法易错易混第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点核心考点-15-答案解析解析关闭总的基本事件数为C104=210,恰有两只成双的取法是C51·C42·C21·C21=120.故从中任意取出4只,则恰好只能配出一双的概率P=120210=47.答案解析关闭47考点1考点2考点3考点5考点4(2)(2015辽宁鞍山一模)现有5双不同号码的鞋,从中任意取出4只,则恰好只能配出一双的概率为.知识方法易错易混第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点核心考点-16-考点1考点2考点3考点5考点4考点2古典概型的交汇问题(多维探究)类型一古典概型与平面向量的交汇例2连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈的概率是()0,π2A.512B.12C.712D.56思考:如何把两个向量的夹角的范围问题转化成与求概率的基本事件有关的问题?知识方法易错易混答案解析解析关闭∵cosθ=𝑚-𝑛√𝑚2+𝑛2·√2,𝜃∈0,π2,∴m≥n满足条件,m=n的概率为636=16;mn的概率为1536=512.∴𝜃∈0,π2的概率为16+512=712.答案解析关闭C第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点核心考点-17-考点1考点2考点3考点5考点4类型二古典概型与解析几何的交汇例3(2015河南洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为.思考:如何把直线与圆有公共点的问题转化成与概率的基本事件有关的问题?知识方法易错易混答案解析解析关闭依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)共有6×6=36个,其中满足直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点,即满足2𝑎√𝑎2+𝑏2≤√2,a2≤b2的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),…,(6,6),共6+5+4+3+2+1=21种,因此所求的概率等于2136=712.答案解析关闭712第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点核心考点-18-考点1考点2考点3考点5考点4类型三古典概型与函数的交汇例4设a∈{2,4},b∈{1,3},函数(1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率;(2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线互相平行的概率.f(x)=12ax2+bx+1.知识方法易错易混答案答案关闭解:(1)f'(x)=ax+b,由题意f'(-1)≤0,即b≤a.而(a,b)共有C21·C21=4种,满足b≤a的有3种,故概率为34.(2)由(1)可知,函数f(x)共有4种可能,从中随机抽取两个,有6种抽法.因为函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=a+b,所以这两个函数中的a与b之和应该相等,而只有(2,3),(4,1)这1组满足,故概率为16.第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点核心考点思考:如何把f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的问题转换成与概率的基本事件有关的问题?解题心得:1.由向量的数量积公式,得出两向量夹角的余弦值的表达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系m≥n,然后分别求m=n和mn对应的事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点数m和n组成的点的坐标数.2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此得出a≤b,到此基本事件就清楚了,事件A包含的基本事件也清楚了.3.f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数可转化成f(x)的导函数在区间(-∞,-1]上小于或等于0,从而得出b≤a.从而不难得出b≤a包含的基本事件数.-19-考点1考点2考点3考点5考点4知识方法易错易混第十二章12.2古典概型与几何概型考纲要求知识梳理双击自测核心考点核心考点-20-答案解析解析关闭由题意,得(x,y)所有的基本事件共有C31·C31=9个.设“a∥b”为事件A,则xy=-3.事件A包含的基本事件有(-1,3),故a∥b的概率为P(A)=19;设“a⊥b”为事件B,则y=3x.事件B包含的基本事件有(1,3),(3,9),故a⊥b的概率为P(B)=29.答案解析关闭1929考点1考点2考点3考点5考点4对点训练2(1)已知向量a=(x,-1),b=(3,y),其中x随机选自集合{-1,1,3},y随机选自集合{1,3,9},则a∥b的概率为;a⊥b的概率为.知识方法易错易混第十二章12.2古典概型与几何概型