概率论与数理统计卷四(附答案)

一，是非题1．设A、B是随机事件，0)(AP，则A与B相互独立.（）2．)(xF是正态随机变量的分布函数，则)(1)(xFxF.（）3．二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布.（）4.X与Y相互独立且都服从指数分布)(E，则)2(~EYX.（）5.)()()(YEXEXYE是X与Y相互独立的必要而非充分的条件.（）6.样本均值的平方2X是总体期望平方2的无偏估计.（）7．在假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H而确定的.（）二.选择题（15分，每题3分）1.设随机变量)1,0(~NX，对给定的)10(，数z满足)(zXP.若)(cXP，则c.)(A2z；)(B21z；)(C21z；)(D1z.2.设随机变量,XY相互独立，)1,0(~NX,)1,1(~NY，则.)(A2/1)0(YXP；)(B2/1)1(YXP；)(C2/1)0(YXP；)(D2/1)1(YXP.3.设随机变量nXXX,,,21独立同分布，且方差为02.令niiXnY11，则.)(AnYXCov/),(21；)(B21),(YXCov；)(CnnYXD/)2()(21；)(DnnYXD/)1()(21.4.设12,,,nXXX是来自正态总体(,1)N的一个简单随机样本，2,XS分别为样本均值与样本方差，则.)(A)1,0(~NX；)(B)1(~)(221nXXini；)(C)1(~)(221nXini；)(D)1(~1/ntnSX.5.在0H为原假设，1H为备择假设的假设检验中，若显著性水平为，则.00111001()(|);()(|);()(|);()(|).APHHBPHHCPHHDPHH接受成立接受成立接受成立接受成立三.填空题（18分，每题3分）1.设,AB为两随机事件，已知8.0)(,)(3.07.0)(BAPBPAP，则(|)PAAB.2.设随机变量)1.0,3(~BX，则12XY的数学期望为.3.随机变量,XY相互独立且服从同一分布，3/)1()()(kkYPkXP，1,0k，则()PXY.4.随机变量);4,0;1,0(~),(NYX，已知(2)1DXY，则.5.设总体),(~2NX，2,为未知参数，则的置信度为1－的置信区间为.6.设1234,,,XXXX是来自正态总体(0,9)N的一个简单随机样本，223421()3XXXX服从分布（须写出自由度）.四.计算题（54分，每题9分）1.甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为0.4,0.3,0.5，（1）求恰有两位同学不及格的概率；（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的概率.2.设二维随机变量(,)XY的联合密度函数他其,010,6),(yxxyxf，求（1）,XY的边缘密度函数；（2）当3/1X时，Y的条件密度函数)3/1(xyfXY；（3）(1)PXY.3.设二维随机变量(,)XY的联合密度函数22,0,0(,)0,xyexyfxy其他,求max{,}ZXY的密度函数.4某厂生产某产品1000件，其价格为2000P元/件，其使用寿命X（单位：天）的分布密度为120000(365)120000365()0365xexfxx现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费0P元/件，若每件产品若寿命小于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件.试由中心极限定理计算(1)若保费0100P元/件,保险公司亏本的概率？(2)试确定保费0P，使保险公司亏本的概率不超过1%.)99.0)33.2(,946.0)61.1(,926.0)45.1(,96.0(0365.0e）5.已知随机变量X的密度函数为(1)(5)56()(0)0xxfx其他，其中均为未知参数，求的矩估计量与极大似然估计量.6.机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不能超过10克.某天开工后，为了检验机器是否正常工作，从已经包装好的食盐中随机取9袋，测得22499,16.03XS.问这天自动包装机工作是否正常（0.05）？即检验（1）01:500,:500HH；（2）222201:10,:10HH.220.0250.0250.0250.025220.050.050.050.05(8)2.306,(9)2.262(8)17.535,(9)19.023(8)1.8595,(9)1.8331(8)15.507,(9)16.919tttt五.证明题（6分）设事件CBA、、同时发生必导致事件D发生，证明：)(2)()()(DPCPBPAP.一.是非题是是非非是非是.二.选择题CBABC.三.填空题1.0.5；2..0.331；3.5/9；4.7/8(或0.875)；5.22((1),(1))SSXtnXtnnn；6.(1,1)F.四.计算题1.解:设123,,AAA分别表示“甲不及格”、“乙不及格”、“丙不及格”三事件,由题意知123,,AAA相互独立,令A表示“恰有2位不及格”,则123123123AAAAAAAAAA123123123()()()()0.40.30.50.40.70.50.60.30.50.29PAPAAAPAAAPAAA（1）123123123123()()(|)()0.40.30.50.60.30.50.291529PAAAPAAAPAAAAAAAPA（2）2.解:(1)当01x时1()66(1)Xxfxxdyxx故6(1)01()0Xxxxfx其他当01y时，20()63yYfyxdxy故2301()0Yyyfy其他(2)当113y时,1(,)133(|)132()3YXfyfyXf,故3111(|)2330YyfyX其他.(3)1/211/2001(1)66(12)4xxPXYxdxdyxxdx.3.解:由题意知,XY相互独立,且220()00xXexfxx与0()00yYeyfyy.当0z时，(){max(,)}{,}{}{}()()ZXYFzPXYzPXzYzPXzPYzFzFz2223()()()()()2(1)(1)23zzzzzzzZXYXYfzfzFzFzfzeeeeeee故23230()0zzzZeeezfz其他4.解：X的分布函数365,0365,1)()365(200001xxexFx，于是0.0365(1095)10.04PXe记10001095NY件产品中寿命小于的产品件数保险公司的利润则)04.0,1000(~BN，NPY200010000，由中心极限定理，)2.6,40(~2NN，于是（1）若保费0100P元/件，则{0}{50}YN保险公司亏本4010{}{0}{50}{}1(1.61)0.0546.26.2NPPYPNP保险公司亏本（2）若保费为0P，则0{0}{0.5}YNP保险公司亏本0000.5400.54040{}{0.5}{}1()0.016.26.26.2PPNPPNPP保险公司亏本故0000.5400.540()0.992.336.26.22(406.22.33)108.89PPP（元）5.解:666115551(1)(5)(5)6(5)62EXxxdxxdxxdx故的矩估计量为1ˆ26X似然函数11()(;)(1)(5)nnniiiiLfxx,故1151ln()ln(1)ln(5)ln()ln(5)01ˆ1ln(5)niiniiiiLnxdLnxdnX的极大似然估计量为6.解:(1)01:500:500HH.若0H成立,统计量500~(8)/3XTtS.由备择假设知，拒绝域的形式为500{||}/3XDAS，由00{|}{|||}PTDHPTAH知0.025(8)2.306At.故拒绝域为{||2.306}DT.代入数据得T的观察值030.18716.03T，因0TD，故接受0H.（2）2201:100,:100HH.由备择假设1H知，拒绝域的形式为28{}100SDA.在20:100H成立的情况下，22288{}{}100SSPAPA。由22228~(8)S知，取20.05(8)15.507A，则2220.05288{15.507}{(8)}0.05100SSPP.故拒绝域为28{15.507}100SD.代入数据得2816.0320.56100D，故应拒绝0H.五.（6分）证明：由题设条件知()()ABCDPABCPD,()()()1()()1()()()()1()()1()()2()2()PAPBPABPAPBPABPAPBPCPABPCPABCPABCPABCPD