概率论与数理统计卷二(附答案)

概率论与数理统计试卷一、是非题（共7分，每题1分）1．设A,B,C为随机事件，则A与CBA是互不相容的.2．)(xF是正态随机变量的分布函数，则)(1)(xFxF.3．若随机变量X与Y独立，它们取1与1的概率均为5.0，则YX.4．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布.5.样本均值的平方2X不是总体期望平方2的无偏估计.6．在给定的置信度1下，被估参数的置信区间不一定惟一.7．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H而确定的.二、选择题（15分，每题3分）（1）设AB，则下面正确的等式是。（ａ）)(1)(APABP；（ｂ）)()()(APBPABP；（ｃ）)()|(BPABP；（ｄ）)()|(APBAP（2）离散型随机变量X的概率分布为kAkXP)((,2,1k)的充要条件是。（ａ）1)1(A且0A；（ｂ）1A且10；（ｃ）11A且1；（ｄ）0A且10.（3）设10个电子管的寿命iX(10~1i)独立同分布，且AXDi)((10~1i)，则10个电子管的平均寿命Y的方差)(YD.（ａ）A；（ｂ）A1.0；（ｃ）A2.0；（ｄ）A10.（4）设),,,(21nXXX为总体)1,0(~NX的一个样本，X为样本均值，2S为样本方差，则有。（ａ）)1,0(~NX；（ｂ）)1,0(~NXn；（ｃ）)1(~/ntSX；（ｄ）)1,1(~/)1(2221nFXXnnii.（5）设),,,(21nXXX为总体),(2N(已知)的一个样本，X为样本均值，则在总体方差2的下列估计量中，为无偏估计量的是。（ａ）niiXXn1221)(1；（ｂ）niiXXn1222)(11；（ｃ）niiXn1223)(1；（ｄ）niiXn1224)(11.三、填空题（18分，每题3分）（1）设随机事件A,B互不相容，且3.0)(AP，6.0)(BP，则)(ABP.（2）设随机变量X服从（-2，２）上的均匀分布，则随机变量2XY的概率密度函数为)(yfY.（3）设随机变量)0;3,1;2,0(~),(22NYX，则概率)12(YXP＝.（4）设随机变量),(YX的联合分布律为),(YX)0,1()1,1()0,2()1,2(P4.02.0ab若8.0)(XYE，则),cov(YX.（5）设（621,,,XXX）是来自正态分布)1,0(N的样本，264231)()(iiiiXXY当c＝时，cY服从2分布，)(2E＝.（6）设某种清漆干燥时间),(~2NX（单位：小时），取9n的样本，得样本均值和方差分别为33.0,62SX，则的置信度为95%的单侧置信区间上限为：.四、计算与应用题（54分，每题9分）1.某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花.到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.2.设随机变量(,)XY的联合密度函数他其0,20),(xyxAyxf求(1)常数A;(2)条件密度函数)(xyfXY;(3)讨论X与Y的相关性.3．设随机变量)1,0(~UX(均匀分布)，)1(~EY(指数分布)，且它们相互独立，试求YXZ2的密度函数)(zfZ.4.某彩电公司每月生产20万台背投彩电，次品率为0.0005.检验时每台次品未被查出的概率为0.01.试用中心极限定理求检验后出厂的彩电中次品数超过3台的概率.5．设总体X的概率分布列为：X0123Pp22p(1-p)p21-2p其中p(2/10p)是未知参数.利用总体X的如下样本值：1，3，0，2，3，3，1，3求(1)p的矩估计值；(2)p的极大似然估计值.6．某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验，结果分别为12690C12710C12630C12650C设数据服从正态分布),(2N，以5%的水平作如下检验：(1)这些结果是否符合于公布的数字12600C？(2)测定值的标准差是否不超过20C？须详细写出检验过程.五、证明题（6分）设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为3的泊松(Poisson)分布，证明XY仍服从泊松分布，参数为6.附表：标准正态分布数值表2分布数值表t分布数值表6554.0)4.0(815.7)3(205.01824.3)3(025.0t950.0)645.1(348.9)3(2025.03534.2)3(05.0t975.0)960.1(448.9)4(205.08595.1)8(05.0t9772.0)0.2(143.11)4(2025.0306.2)8(025.0t附表：标准正态分布数值表2分布数值表t分布数值表6103.0)28.0(488.9)4(205.01315.2)15(025.0t975.0)96.1(711.0)4(295.07531.1)15(05.0t9772.0)0.2(071.11)5(205.01199.2)16(025.0t9938.0)5.2(145.1)5(295.07459.1)16(05.0t一.是非题是是非非是是是..二.选择题（ｂ）（ａ）（ｂ）（ｄ）（ｃ）.三.填空题（18分，每题3分）[方括弧内为B卷答案]1.4/7.2.他其040)4/(1)(yyyfY3.0.8446.4.0.1.5.1/3;2.6.上限为6.356.四.计算与应用题1.A任取2箱都是民用口罩，kB丢失的一箱为k3,2,1k分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花.3685110321)()()(29252925292431CCCCCCBAPBPAPkkk.83368363)(/21)(/)()()(2924111APCCAPBAPBPABP2.(1).4/1A(２)他其0202/)4/1(),()(xxdydyyxfxfxxX当20x时，他其0)2/(1)(),()(xyxxxfyxfxyfXXY(３)202,3/4)2/()(dxxXE20,0)4/()(xxdyydxYE20,0)4/()(xxdyyxdxXYE0)()()(),cos(YEXEXYEYX所以X与Y不相关.3.他其0101)(xxfX000)(yyeyfyYdxzxfxfzfYXZ)2()()(0210zxx2/10zxx得z轴上的分界点０与２20202/)1(02/)1()(12/2)2(102)2(zzedxezeedxezfzzxzzxzZ4.设他其出台彩电为次品且未被查第01iXi5102~1i6105)(iXE,)1051(105)(66iXD经检验后的次品数51021iiXY，1)(YE，61051)(YD，由中心极限定理，近似地有)1051,1(~6NY.0228.0)2(11051131)3(1)3(6YPYP5.(1)28/1681iiXX，令XpXE43)(，得p的矩估计为4/14/)3(ˆXp.(2)似然函数为4281)]3()[2()]1()[0()()(XPXPXPXPxXPpLii42)21()1(4ppp)21ln(4)1ln(2ln64ln)(lnppppL令0218126])(ln[ppppL，0314122pp12/)137(p.由2/10p，故12/)137(p舍去所以p的极大似然估计值为.2828.012/)137(ˆp6.由样本得1267X，65.33/40)(31412iiXXS.(1)要检验的假设为1260:,1260:10HH)检验用的统计量)1(~/0ntnSXT，拒绝域为1824.3)3()1(025.02tntT.1824.3836.34/65.3126012670T，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H，即不能认为结果符合公布的数字12600C.(2)要检验的假设为2:,2:10HH检验用的统计量)1(~)1(22022nSn，拒绝域为815.7)3()1(205.022n815.7104/4020,落在拒绝域内，故拒绝原假设0H，即不能认为测定值的标准差不超过20C.五、证明题(6分)由题设3!3)(emmXPm，3!3)(ennYPn，,2,1,0,mnikikkiYPkXPkiYkXPiYXP00)()(),()(ikkikikkikkikiieekiek0603333!)(!!!1!)(3!366!6)33(!1eiieii，,2,1,0i所以YX仍服从泊松分布，参数为6.