数理金融课件(对外经贸大学)

——资产定价的原理与模型郭多祚主编数理金融学（MathematicalFinance）是二十世纪后期发展起来的新学科。数理金融学的特点是数学作为工具对金融学的核心问题进行分析和研究。金融学的三个基本研究内容之一，资产定价问题与数学密切相关。数学工具的运用使金融学成为一门真正的科学。现代金融学产生是由于“两次华尔街革命”，第一次华尔街革命是指1952年马科维茨（H.M.Marcowitz）投资组合选择理论的问世。此后，马科维茨的学生夏普（W.F.Sharpe）在马科维茨理论的基础上，提出了资本资产定价模型（CapitalAssetPricingModel，CAPM）。他们两人的成果获得了1990年诺贝尔经济学奖。他们的工作是利用数学工具，在严格的假设的基础之上，利用数学推理论证解决了风险资产的定价问题，是将数学方法应用于金融学成功的范例，也是划时代的开创性的工作。第二次华尔街革命是指1973年布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.S.Scholes）期权定价公式。这一成果荣获1997年诺贝尔经济学奖。他们也是利用数学工具解决了重要的金融衍生产品期权的定价问题。两次华尔街革命标志着现代金融学的诞生，同时也产生了一门新的学科：数理金融学。随着金融市场的发展及各种金融创新不断出现，各种金融衍生产品层出不穷，这又给数理金融学的发展提出了更高的要求，同时也为数理金融学的发展提供了广阔的空间。数理金融学成为金融工程学的理论基础。现代金融学离不开数学，因此无论是从事金融理论研究和金融市场决策有关的实务工作都需要学习数理金融理论，掌握利用数学工具分析金融问题的方法。数理金融学一方面能使经济和管理专业的学生掌握定量分析的方法和技术，同时对于数学和理工科专业的学生来说，通过学习数理金融学也是他们掌握的数理工具大有用武之地。本书以资产定价的原理和模型为主线，主要介绍资产定价的无套利定价和均衡定价原理，以及以此为依据的债券定价，风险资产定价和衍生产品定价模型。本书从易到难先介绍单期模型，然后介绍多期模型。各章的基本概念和主要结论分述如下。第一章期望效用函数理论与单期定价模型第1章介绍期望效用函数理论、投资者的风险类型及其风险度量以及单期无套利模型和均衡定价模型，是学习金融经济学和数理金融学的基础知识。期望效用函数理论是von-Nenmann和Morgenstren创立的。期望效用函数是对不确定性的环境中，对于各种可能出现的结果，定义效用函数值，即von-NenmannandMorgenstren效用函数，然后将此效用函数按描述不确定性的概率分布取期望值。本章首先介绍期望效用函数理论。然后在此基础上研究投资者的风险偏好以及风险度量，最后介绍单期定价模型。1.1序数效用函数1.1.1偏好关系1.1.2字典序1.1.3效用函数1.1.4偏好关系的三条重要性质性质1（序保持性）对任意B,yx，yx，及1,0,，yxyx11当且仅当。性质2（中值性）对任意Bzyx,,，如果xyz，那么存在唯一的1,0使zx1～y性质3（有界性）存在Byx**,，使对任意Bz，有**yzx性质3是为了证明效用函数存在定理更方便，性质1和性质2是重要的，并不是所有具有偏好关系都是有这三条性质。1.1序数效用函数1.1.5序数效用函数存在定理定理1.1设选择集B上的偏好关系“”具有1.1.4中的性质1～性质3，则存在效用函数U:BR使得1.xy当且仅当)()(yUxU2x～y当且仅当)()(yUxU1.2期望效用函数1.2.1彩票（lottery）及其运算1.2.2彩票集合上的偏好关系1.2.3基数效用函数存在定理定理1.2(基数效用函数存在定理)设B~具有性质1—性质3的偏好关系””则存在效用函数:UBR满足:(1)PQ当且仅当)()(yUxU(2)P～Q当且仅当)()(yUxU(3)设P,QB~,1,0,则)()1()())1((QUPUQPU1.2.4vonNenmann-Morgenstren效用函数1.2.5伯瑞特（Pratt）率给定vonNeumannandMorgenstern效用函数XV,定义Pratt率RRAh:xVhxVxVhxVhxVxAh2命题2Pratt率Ah对于正仿射变换是不变的1.3投资者的风险类型及风险度量1.3.1投资者的风险类型对一般的风险资产w~有,))~(()~(wVEwEV,则称投资者为风险厌恶型。对一般地w~，有))~(()~(wVEwEV称投资者为风险爱好型。效用函数V是线性函数，称投资者为风险中性的。1.3.2Markowitz马科维茨风险溢价设)~,(0hw满足下列条件))~,((00hwwV)()1()(2010hwVphwpV更一般地))~(())~(~(wVEwwEV其中hww~~0。则称)~,(0hw为马科维茨风险溢价（Markowitzriskpremium）。1.3.3阿罗-伯瑞特（Arrow-Pratt）绝对风险厌恶函数称)(xA=()'()VxVx为阿罗-伯瑞特（Arrow-Pratt）绝对风险厌恶函数。称1()TxAx为风险容忍函数。称)()(xxAxR为相对风险厌恶函数。1.3.4双曲绝对风险厌恶类函数（HARA）称形如rbraxrrxV)1(1)(b0的函数为双曲绝对风险厌恶函数，它是金融经济学中用到的一类重要的效用函数。1.4均值方差效用函数1.4.1资产的收益率假设从时点t到时点1t没有红利支付，时点t的价格为tP，时点1t的价格为1tP，则该资产从时点t到时点1t百分比收益（也称单位净收益）tR为tR=111tttttPPPPP1.4.2均值方差效用函数设有某种金融资产X，如果存在二元函数(,)vxy，使其效用函数(())((),var())EVXvEXX1((),var())0vEXX2((),var())0vEXX则称))((xVE均值方差效用函数。1.5随机占优1.5.1随机占优准则（SD准则）随机占优准则，是依据投资者效用函数的类型将投资者分类，首先把()0Vx的投资者作为第一类，和第一类投资者相应的SD准则称为一随机随机占优准则。把第一类投资者继续分类，在第一类投资者中，满足()0Vx的投资者，为第二类投资者，相应的SD准则为二阶随机占优准则，这类投资者是风险厌恶的投资者。1.5.2一阶随机占优如果所有具有连续递增效用函数的投资者对资产A的偏好胜过对资产B的偏好，我们称资产A一阶随机占优于资产B，记为BAFSD。定理1.3设)(xFA、)(xFB分别是资产A的收益率AR和BR的分布函数，其定义域为[a,b]，则BAFSD的充要条件是)(xFA)(xFB1.5.3二阶随机占优如果对所有具有连续递增效用函数的风险厌恶的投资者偏好资产A胜过偏好资产B，则称风险资产A二阶随机占优于资产B,记为BASSD。定理1.4BASSD的充要条件是0)(xS，其中()[()()]xABaSxFtFtdt],[bax1.6单期无套利资产定价模型1.6.1单期确定性无套利定价模型1．套利机会：套利机会（arbitrageopportunity）是指不投入任何资产即可获利，或者在0期不进行任何投入，而在1期可获得无风险收益；或者在0期获得无风险收益，而在1期无任何现金支出。如果市场不存在套利机会，则称市场为无套利市场。如果资产市场不存在任何套利机会，价格函数存在如下性质：00()()nniiiiiiPNXNPX定理1.5设资本市场不存在套利机会，资产组合12(,,,)TnNNN满足000niiiNPX，则资产组合nNNN,,,10的收益率为000,niiiiiiiiNPXwRwNPX其中1.6.2单期不确定性无套利定价模型定理1.6资本市场不存在套利机会当且仅当存在lR使1TTPZ或v成立。这里TP和TZ分别为矩阵P和Z的转置矩阵。1.7单期不确定性均衡定价模型1.7.1均衡定价与期望效用最大化准则1.7.2阿罗－德布鲁证券第2章固定收益证券第2章固定收益证券，主要研究金融学研究的主要内容之一：货币的时间价值。这也是各种投资决策的基础，同时也是债券定价的理论依据。在这章的最后研究了债券价格波动分析与测度。2.1货币的时间价值货币的时间价值(TVM)是指当前持有的一定量的货币比未来获得的等量货币具有更高的价值。这是因为，货币用于投资可获得收益，存入银行可获得利息，货币的购买力会因通货膨胀的影响改变。因此我们首先讨论终值和现值。2.1.1终值本金用P表示，利率用r表示，一年后的终值用1F表示，则rPF112.1.2现值与贴现在计算现值时，贴现因子起着很重要的作用，下面我们讨论贴现因子。1.单利贴现因子单利的贴现因子为nr11。2.复利贴现因子复利贴现因子为nr11。3.连续复利折现因子连续复利贴现因子为nre。2.1.3多重现金流1.现金流的终值每年存入银行的钱数分别为,,,,21nYYY存款的年利率为r。按复利计算，n年后你将有现金rYrYrYFnnnn1111212.现金流的现值某投资者连续n年年末可得到的投资收入为,,,,21nCCC年利率为r，按复利折现，投资者投资收入的现值nnrCrCrCPV1112212.1.4年金1.普通年金的终值2.年金的现值3.永续年金2.2债券及其期限结构2.2.1债券的定义和要素1.面值2.期限3.附息债券与票面利率4.付息频率5.分期偿还特征6附加选择权2.2.2债券的风险1.利率风险2.违约风险2.2债券及其期限结构3.流动性风险4.通货膨胀风险2.2.3债券的收益率及其计算1．年收益率与期间收益率2．当期收益率3．到期收益率（yieldtomaturity）4．持有期收益率5．赎回收益率6．投资组合收益率2.2.4债券的收益率曲线2．3债券定价2.3.1债券定价的原则2.3.2影响债券定价的因素债券的面值P；债券的票面利息c;债券的有效期T;是否可提前赎回；是否可转换；流通性；违约的可能性；影响债券定价的外部因素有：基准利率（即无风险利率）；市场利率；通货膨胀率；2.3.3债券定价1．零息债券定价所谓零息债券即不支付利息，到期日一次性还本的债券，这种债券的定价公式最简单，债券的价值v可用下式确定：1TPVr2．付息债券定价设债券每年一此性支付利息c（元），则债券的价值v为111TtTtcPVrr3．每年派息m次的债券定价如果每年支付的利息c按m次支付，则此债券的价格111mTtmTtcPmVrrmm2.4价格波动的测度—久期2.4.1久期及其计算迈考雷久期定义为111tTtttcDVr2.4.2债券价格波动的特征2.4.3债券价格波动的测量如果我们考虑债券价格的市场收益率弹性，则/1dVVrDdrrr2.4.4债券组合的久期2.4.5利用久期免疫第3章均值方差分析与资本资产定价模型第3章介绍了马科维茨的投资组合选择理论和资本资产定价模型。主要以股票为例讨论了风险资产的定价问题。3.1两种证券投资组合的均值-方差3.1.1投资组合设有两种风险资产证券，记为A和B，AAw购买（或卖空）证券金额投资于两种证券自有金额称为投资于证券A的权重。如果你有资金1000元，投资于证券A的金额为400元，投资于证券B的金额为600元，易见，此时4006000.4,0.610001000ABww，满足1ABww。设,TABwww是一投资组合3.1.2联合线3.1.3两种投资组合均值-方差